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对算术和扩展的建议

算术运算和定点缩放

接下来的小节描述算术运算和定点比例之间的关系,并提供一些基本建议可能适合您的定点设计。对于每一个算术运算,

一般(斜率偏见)描述的编码方案扩展使用。
结果是自动选择的扩展基于扩展的两个输入。换句话说,比例是多少继承了。
基于扩展选择
- 结果的算术运算的数量最小化
- 最大限度地提高结果的精度
此外,binary-point-only扩展作为通用编码模式的一个特例。

在嵌入式系统中,硬件接口的扩展变量(ADC和DAC)是固定的。然而对于大多数其他变量,比例是你可以选择最好的设计。缩放定点变量时,重要的是要记住

你扩展的选择依赖于特定的设计模拟。
没有最好的扩展方法。所有的选择都有相关的优点和缺点。本节的目的是揭露这些优点和缺点。

除了

考虑添加两个真实的值:

$V_{一个} = V_{b} + V_{c} 。$

这些值代表的通用(斜率偏见)描述的编码方案扩展:

$V_{我} = F_{我} 2^{E_{我}} 问_{我} + B_{我} 。$

在定点系统中,结果找到该变量的值问_一个:

$问_{一个} = \frac{F_{b}}{F_{一个}} 2^{E_{b} - E_{一个}} 问_{b} + \frac{F_{c}}{F_{一个}} 2^{E_{c} - E_{一个}} 问_{c} + \frac{B_{b} + B_{c} - B_{一个}}{F_{一个}} 2^{- E_{一个}} 。$

这个公式表明

一般来说,问_一个不是通过一个简单的加法计算的问_b和问_c。
一般来说,有两个乘法常数和变量,两个补充,一些额外的转移。

继承的扩展速度

的过程中发现之和的比例,一个合理的目标是简化计算。简化计算的数量应该减少操作,从而提高执行速度。下面的选择可以帮助减少算术运算的数量:

集B_一个=B_b+B_c。这就消除了一个加法。
集F_一个=F_b或F_一个=F_c。要么选择消除乘法的两个常数乘以变量。

由此产生的公式是

$问_{一个} = 2^{E_{b} - E_{一个}} 问_{b} + \frac{F_{c}}{F_{一个}} 2^{E_{c} - E_{一个}} 问_{c}$

或

$问_{一个} = \frac{F_{b}}{F_{一个}} 2^{E_{b} - E_{一个}} 问_{b} + 2^{E_{c} - E_{一个}} 问_{c} 。$

似乎这些方程等价的。然而,你选择的舍入和精度可以站在另一个选择。为了进一步简化问题,你可以选择E_一个=E_c或E_一个=E_b。这将消除一些转变。

继承的扩展最大精度

的过程中发现之和的比例,一个合理的目标是最大的精度。你可以确定最大精度缩放是否已知变量的范围。最大化精度显示,您可以确定定点操作的范围max (V_一个)和分钟(V_一个)。对于一个求和,可以确定的范围

$\begin{array}{l} 最小值 ({\tilde{V}}_{一个}) = 最小值 ({\tilde{V}}_{b}) + 最小值 ({\tilde{V}}_{c}), \\ 马克斯 ({\tilde{V}}_{一个}) = 马克斯 ({\tilde{V}}_{b}) + 马克斯 ({\tilde{V}}_{c}) 。 \end{array}$

你现在可以推导出斜率最大精度:

$\begin{matrix} F_{一个} 2^{E_{一个}} = \frac{马克斯 ({\tilde{V}}_{一个}) - 最小值 ({\tilde{V}}_{一个})}{2^{w {年代}_{一个}} - 1} \\ = \frac{F_{一个} 2^{E_{b}} (2^{w {年代}_{b}} - 1) + F_{c} 2^{E_{c}} (2^{w {年代}_{c}} - 1)}{2^{w {年代}_{一个}} - 1} 。 \end{matrix}$

在大多数情况下,输入和输出文字大小要大于1,和斜率

$F_{一个} 2^{E_{一个}} \approx F_{b} 2^{E_{b} + w {年代}_{b} - w {年代}_{一个}} + F_{c} 2^{E_{c} + w {年代}_{c} - w {年代}_{一个}},$

这只取决于输入和输出的大小。相应的偏见

$B_{一个} = 最小值 ({\tilde{V}}_{一个}) - F_{一个} 2^{E_{一个}} 最小值 (问_{一个}) 。$

偏见的价值取决于输入和输出是否签署或无符号数。

如果输入和输出都是无符号,那么这些变量都是零和的最小值偏差降低到一个特别简单的表单:

$B_{一个} = B_{b} + B_{c} 。$

如果输入和输出都签名,然后偏差

$\begin{array}{l} B_{一个} \approx B_{b} + B_{c} + F_{b} 2^{E_{b}} (- 2^{w {年代}_{b} - 1} + 2^{w {年代}_{b} - 1}) + F_{c} 2^{E_{c}} (- 2^{w {年代}_{c} - 1} + 2^{w {年代}_{c} - 1}), \\ B_{一个} \approx B_{b} + B_{c} 。 \end{array}$

Binary-Point-Only扩展

binary-point-only缩放,发现问_一个结果在这个简单的表达式:

$问_{一个} = 2^{E_{b} - E_{一个}} 问_{b} + 2^{E_{c} - E_{一个}} 问_{c} 。$

这个比例的选择的结果只有一个加法和移位。避免任何乘法binary-point-only缩放的一大优势。

请注意

的减法的价值观产生结果,类似于那些由添加值。

积累

的累积值与增加密切相关:

$V_{一个_n e w} = V_{一个_o l d} + V_{b} 。$

发现问_{a_new}包括一个乘法常数和变量,两个补充,和一些变化:

$问_{一个_n e w} = 问_{一个_o l d} + \frac{F_{b}}{F_{一个}} 2^{E_{b} - E_{一个}} 问_{b} + \frac{B_{b}}{F_{一个}} 2^{- E_{一个}} 。$

定点实现的重要区别是,输出的比例是相同的第一个输入的比例。

Binary-Point-Only扩展

binary-point-only缩放,发现问_{a_new}结果在这个简单的表达式:

$问_{一个_n e w} = 问_{一个_o l d} + 2^{E_{b} - E_{一个}} 问_{b} 。$

这个扩展选项只涉及一个加法和移位。

请注意

价值产生的负面累积的结果,类似于那些积累产生的值。

乘法

考虑两个真实值的乘积:

$V_{一个} = V_{b} V_{c} 。$

这些值代表的通用(斜率偏见)描述的编码方案扩展:

$V_{我} = F_{我} 2^{E_{我}} 问_{我} + B_{我} 。$

在定点系统中,找到该变量值的乘法的结果问_一个:

$\begin{matrix} 问_{一个} = \frac{F_{b} F_{c}}{F_{一个}} 2^{E_{b} + E_{c} - E_{一个}} 问_{b} 问_{c} + \frac{F_{b} B_{c}}{F_{一个}} 2^{E_{b} - E_{一个}} 问_{b} \\ + \frac{F_{c} B_{b}}{F_{一个}} 2^{E_{c} - E_{一个}} 问_{c} + \frac{B_{b} B_{c} - B_{一个}}{F_{一个}} 2^{- E_{一个}} 。 \end{matrix}$

这个公式表明

一般来说,问_一个不是通过一个简单的乘法计算的问_b和问_c。
一般来说,有一个乘法的一个常数和两个变量,两个乘法常数和变量,三个增加,一些额外的转移。

继承的扩展速度

算术运算的数量可以减少与这些选择:

集B_一个=B_bB_c。这就消除了一个加法操作。
集F_一个=F_bF_c。这简化了三重multiplication-certainly最困难的部分方程来实现。
集E_一个=E_b+E_c。这就消除了一些转变。

由此产生的公式是

$问_{一个} = 问_{b} 问_{c} + \frac{B_{c}}{F_{c}} 2^{- E_{c}} 问_{b} + \frac{B_{b}}{F_{b}} 2^{- E_{b}} 问_{c} 。$

继承的扩展最大精度

你可以确定最大精度缩放是否已知变量的范围。最大化精度显示,您可以确定定点操作的范围

$马克斯 ({\tilde{V}}_{一个})$

和

$最小值 ({\tilde{V}}_{一个}) 。$

对于乘法,可以确定的范围

$\begin{matrix} 最小值 ({\tilde{V}}_{一个}) = 最小值 (V_{l l}, V_{l H}, V_{H l}, V_{H H}), \\ 马克斯 ({\tilde{V}}_{一个}) = 马克斯 (V_{l l}, V_{l H}, V_{H l}, V_{H H}), \end{matrix}$

在哪里

$\begin{array}{l} V_{l l} = 最小值 ({\tilde{V}}_{b}) \cdot 最小值 ({\tilde{V}}_{c}), \\ V_{l H} = 最小值 ({\tilde{V}}_{b}) \cdot 马克斯 ({\tilde{V}}_{c}), \\ V_{H l} = 马克斯 ({\tilde{V}}_{b}) \cdot 最小值 ({\tilde{V}}_{c}), \\ V_{H H} = 马克斯 ({\tilde{V}}_{b}) \cdot 马克斯 ({\tilde{V}}_{c}) 。 \end{array}$

Binary-Point-Only扩展

binary-point-only缩放,发现问_一个结果在这个简单的表达式:

$问_{一个} = 2^{E_{b} + E_{c} - E_{一个}} 问_{b} 问_{c} 。$

获得

考虑常数和变量的乘法

$V_{一个} = K V_{b},$

在哪里K是一个常数称为收益。自V_一个乘法的结果一个常数和变量,发现问_一个是一个简化版的通用定点乘法公式:

$问_{一个} = (\frac{K F_{b} 2^{E_{b}}}{F_{一个} 2^{E_{一个}}}) 问_{b} + (\frac{K B_{b} - B_{一个}}{F_{一个} 2^{E_{一个}}}) 。$

注意括号中的词汇可以离线计算。因此,只有一个乘法的一个常数和变量。

实现上述方程不改变它一个更复杂的形式,常数需要使用binary-point-only格式编码。对于每个这些常数,只是微不足道的一个值范围。尽管微不足道的范围,二点公式最大精度仍然有效。最大精度表示是最有效的选择,除非有一个压倒一切的需要避免任何转移。常量的编码

$\begin{array}{l} (\frac{K F_{b} 2^{E_{b}}}{F_{一个} 2^{E_{一个}}}) = 2^{E_{X}} 问_{X} \\ (\frac{K B_{b} - B_{一个}}{F_{一个} 2^{E_{一个}}}) = 2^{E_{Y}} 问_{Y} \end{array}$

导致公式

$问_{一个} = 2^{E_{X}} 问_{X} 问_{B} + 2^{E_{Y}} 问_{Y} 。$

继承的扩展速度

算术运算的数量可以减少与这些选择:

集B_一个=KB_b。这就消除了一个常数项。
集F_一个=KF_b和E_一个=E_b。这集其他常数项统一。
由此产生的公式简单

$问_{一个} = 问_{b} 。$

如果是不同的比特数,那么处理潜在的溢出或执行符号扩展是唯一可能的操作。

继承的扩展最大精度

比例最大精度不需要不同的扩展速度,除非输出比输入较少的比特。如果是这种情况,那么应该避免饱和斜率除以2为每个失去了一些。这可以防止饱和但使舍入。

部门

值是一个分工操作,应避免在定点的嵌入式系统,但它可以发生在的地方。因此,考虑两个真实值的划分:

$V_{一个} = V_{b} / V_{c} 。$

这些值代表的通用(斜率偏见)描述的编码方案扩展:

$V_{我} = F_{我} 2^{E_{我}} 问_{我} + B_{我} 。$

在定点系统中,找到该变量值结果的部门问_一个:

$问_{一个} = \frac{F_{b} 2^{E_{b}} 问_{b} + B_{b}}{F_{c} F_{一个} 2^{E_{c} + E_{一个}} 问_{c} + B_{c} F_{一个} 2^{E_{一个}}} - \frac{B_{一个}}{F_{一个}} 2^{- E_{一个}} 。$

这个公式表明

一般来说,问_一个不是通过一个简单的除法计算的问_b通过问_c。
一般来说,有两个乘法常数和变量,两个补充,由一个变量,变量的一个部门一个部门一个常数的变量,和一些额外的转移。

继承的扩展速度

算术运算的数量可以减少与这些选择:

集B_一个= 0。这就消除了一个加法操作。
如果B_c= 0,然后设置部分的斜率F_一个=F_b/F_c。这就消除了一个常数乘以变量乘法。

由此产生的公式是

$问_{一个} = \frac{问_{b}}{问_{c}} 2^{E_{b} - E_{c} - E_{一个}} + \frac{(B_{b} / F_{b})}{问_{c}} 2^{- E_{c} - E_{一个}} 。$

如果B_c≠0,然后没有明确的建议。

继承的扩展最大精度

你可以确定最大精度缩放是否已知变量的范围。最大化精度显示,您可以确定定点操作的范围

$马克斯 ({\tilde{V}}_{一个})$

和

$最小值 ({\tilde{V}}_{一个}) 。$

对于部门,您可以确定的范围

$\begin{matrix} 最小值 ({\tilde{V}}_{一个}) = 最小值 (V_{l l}, V_{l H}, V_{H l}, V_{H H}), \\ 马克斯 ({\tilde{V}}_{一个}) = 马克斯 (V_{l l}, V_{l H}, V_{H l}, V_{H H}), \end{matrix}$

在非零分母

$\begin{array}{l} V_{l l} = 最小值 ({\tilde{V}}_{b}) / 最小值 ({\tilde{V}}_{c}), \\ V_{l H} = 最小值 ({\tilde{V}}_{b}) / 马克斯 ({\tilde{V}}_{c}), \\ V_{H l} = 马克斯 ({\tilde{V}}_{b}) / 最小值 ({\tilde{V}}_{c}), \\ V_{H H} = 马克斯 ({\tilde{V}}_{b}) / 马克斯 ({\tilde{V}}_{c}) 。 \end{array}$

Binary-Point-Only扩展

binary-point-only缩放,发现问_一个结果在这个简单的表达式:

$问_{一个} = \frac{问_{b}}{问_{c}} 2^{E_{b} - E_{c} - E_{一个}} 。$

请注意

在过去的两个公式涉及问_一个除以零,零除以零是有可能的。在这些情况下,硬件会给一些默认的行为,但你必须确保这些默认响应为嵌入式系统提供有意义的结果。

总结

定点前面分析的变量中的比例一般(斜率偏见)编码方案,你可以得出结论

加法,减法,乘法,除法可以积极参与,除非某些选择的偏见和斜坡。
Binary-point-only扩展保证简单数学,但通常会牺牲一些精度。

注意,前面的公式不显示如下:

常量和变量使用有限数量的比特表示。
签署或无符号变量。
舍入和溢出处理方案。你必须做出这些决策之前实际的定点实现。

另请参阅

扩展