周期图的偏倚和变异性

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这个例子展示了如何减少周期图中的偏差和可变性。使用窗口可以减少周期图中的偏差，使用带平均的窗口可以减少变异性。

使用广义平稳自回归(AR)过程来显示周期图中偏差和可变性的影响。AR进程提供了一个方便的模型，因为它们的psd具有封闭形式的表达式。创建如下形式的AR(2)模型:

$y （ n ） - 0 ． 75 y （ n - 1 ） + 0 ． 5 y （ n - 2 ）＝ ε （ n ），$

在哪里 $ε （ n ）$ 是具有特定方差的零均值白噪声序列。在本例中，假设方差和采样周期为1。为了模拟前面的AR(2)过程，创建一个全极(IIR)滤波器。查看滤波器的幅度响应。

B2 = 1;A2 = [1 -0.75 0.5];fvtool (B2 A2)

这个过程就是带通。PSD的动态范围大约是14.5 dB，可以用下面的代码确定。

[H2,W2] = freqz(B2,A2,1e3,1);dr2 = max (20 * log10 (abs (H2)))分(20 * log10 (abs (H2)))

Dr2 = 14.4984

通过检查极点的位置，您可以看到AR(2)过程是稳定的。两个极点在单位圆内。

fvtool (B2, A2,“分析”，“polezero”）

接下来，创建一个AR(4)过程，描述如下:

$y （ n ） - 2 ． 7607 y （ n - 1 ） + 3. ． 8106 y （ n - 2 ） - 2 ． 65 3. 5 y （ n - 3. ） + 0 ． 92 3. 8 y （ n - 4 ）＝ ε （ n ）．$

使用下面的代码查看这个IIR系统的震级响应。

B4 = 1;A4 = [1 -2.7607 3.8106 -2.6535 0.9238];fvtool (B4, A4)

检查极点的位置，您可以看到这个AR(4)过程也是稳定的。四个极点在单位圆内。

fvtool (B4, A4,“分析”，“polezero”）

该PSD的动态范围约为65 dB，比AR(2)模型大得多。

[H4,W4] = freqz(B4,A4,1e3,1);dr4 = max (20 * log10 (abs (H4)))分(20 * log10 (abs (H4)))

Dr4 = 64.6213

要从这些AR模拟实现(p)过程，使用randn而且过滤器．将随机数生成器设置为默认设置，以产生可重复的结果。画出实现。

rng默认的X = randn(1e3,1);y2 = filter(B2,A2,x);y4 = filter(B4,A4,x);Subplot (2,1,1) plot(y2)标题(“AR(2)流程”)包含(“时间”) subplot(2,1,2) plot(y4)标题(“AR(4)过程”)包含(“时间”）

图中包含2个轴对象。(2)进程包含一个类型为line的对象。(4)进程包含一个类型为line的对象。

计算并绘制AR(2)和AR(4)实现的周期图。将结果与真实PSD进行比较。请注意,周期图将频率转换为毫赫兹用于绘图。

Fs = 1;NFFT = length(y2);subplot(2,1,1) periograph (y2,rectwin(NFFT)，NFFT,Fs) hold住在情节(1000 * W2, 20 * log10 (abs (H2)),“r”，“线宽”2)标题(“AR(2) PSD和骨膜图”) subplot(2,1,2) periograph (y4,rectwin(NFFT)，NFFT,Fs) hold住在情节(1000 * W4, 20 * log10 (abs (H4)),“r”，“线宽”2)标题(“AR(4) PSD和骨膜图”20岁的)文本(350“\ downarrow偏见”）

图中包含2个轴对象。标题为AR(2) PSD和Periodogram的坐标轴对象1包含2个类型为line的对象。axis对象2，标题AR(4) PSD和Periodogram包含3个类型为line, text的对象。

在AR(2)过程的情况下，周期图估计遵循真实PSD的形状，但表现出相当大的可变性。这是由于低自由度。周期图中明显的负偏转(以dB为单位)是通过取两个自由度的卡方随机变量的对数来解释的。

在AR(4)过程中，周期图在低频处遵循真实PSD的形状，但在高频处偏离真实PSD。这是与Féjer核函数卷积的结果。与AR(2)过程相比，AR(4)过程的大动态范围使得偏差更加明显。

通过使用锥度或窗口来减轻AR(4)过程中显示的偏差。在本例中，在获得周期图之前，使用汉明窗口来缩减AR(4)实现。

图周期图(y4,hamming(长度(y4))，NFFT,Fs) hold住在情节(1000 * W4, 20 * log10 (abs (H4)),“r”，“线宽”2)标题(“AR(4) PSD和带汉明窗的周期图”)传说(“周期图”，基于“增大化现实”技术(4)PSD的）

图中包含一个轴对象。标题为AR(4) PSD的坐标轴对象和带汉明窗口的Periodogram对象包含2个类型为line的对象。这些对象代表Periodogram, AR(4) PSD。

请注意，周期图估计现在遵循整个奈奎斯特频率范围内的真实AR(4) PSD。周期图估计仍然只有两个自由度，因此使用窗口并不能减少周期图的可变性，但它确实解决了偏差。

在非参数谱估计中，有两种提高周期图自由度和减小周期图变异性的方法:韦尔奇重叠段平均法和多锥谱估计法。

使用3.5的时间半带宽乘积获得AR(4)时间序列的多锥估计。画出结果。

Nw = 3.5;图pmtm(y4,NW,NFFT,Fs)保持在情节(1000 * W4, 20 * log10 (abs (H4)),“r”，“线宽”2)传说(“球估计”，基于“增大化现实”技术(4)PSD的）

图中包含一个轴对象。标题为Thomson Multitaper功率谱密度估计的坐标轴对象包含2个类型为直线的对象。这些对象代表多锥估计，AR(4) PSD。

多锥方法产生的PSD估计值的变异性明显小于周期图。因为多锥方法也使用了窗口，所以可以看到周期图的偏差也得到了解决。

另请参阅

周期图|pmtm