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这个例子展示了如何使用符号数学工具箱™计算定积分。

定积分

证明这个定积分 $\int_{一个}^{b} f （ x ） d x$ 为 $f （ x ）＝年代我 n （ x ）$ 在 $［ \frac{π}{2} ， \frac{3. π}{2} ］$ 是0。

信谊xint (sin (x),π/ 2,3 *π/ 2)

ans =
                   $0$

定积分的极大值和极小值

最大化 $F （一个）＝ \int_{- 一个}^{一个} 罪（一个 x ）罪（ x / 一个） d x$ 为 $一个 \geq 0$ ，首先定义符号变量，并假设 $一个 \geq 0$ ：

信谊一个x假设(a >= 0);

然后定义最大化函数:

F = int(sin(a*x)*sin(x/a) x，-a,a)

F =
                  
                    $｛ \begin{array}{cl} 1 - \frac{罪 （ 2 ）}{2} & 如果 一个 ＝ 1 \\ \frac{2 一个 (罪 （ {一个}^{2} ） 因为 （ 1 ） - {一个}^{2} 因为 （ {一个}^{2} ） 罪 （ 1 ）)}{{一个}^{4} - 1} & 如果 一个 \neq 1 \end{array}$

注意这里的特殊情况 $一个＝ 1$ ．为了使计算更容易，使用assumeAlso忽略这种可能性(稍后再检查。 $一个＝ 1$ 不是最大值):

假设also (a ~= 1);F = int(sin(a*x)*sin(x/a) x，-a,a)

F =
                  
                    $\frac{2 一个 (罪 （ {一个}^{2} ） 因为 （ 1 ） - {一个}^{2} 因为 （ {一个}^{2} ） 罪 （ 1 ）)}{{一个}^{4} - 1}$

创建一个关于 $F$ 检查形状:

fplot (F, 10 [0])

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个functionline类型的对象。

使用diff求的导数 $F$ 关于 $一个$ ：

Fa = diff(F,a)

Fa =
                  
                    $\begin{array}{l} \frac{2 σ_{1}}{{一个}^{4} - 1} + \frac{2 一个 (2 一个 因为 （ {一个}^{2} ） 因为 （ 1 ） - 2 一个 因为 （ {一个}^{2} ） 罪 （ 1 ） + 2 {一个}^{3.} 罪 （ {一个}^{2} ） 罪 （ 1 ）)}{{一个}^{4} - 1} - \frac{8 {一个}^{4} σ_{1}}{{({一个}^{4} - 1)}^{2}} \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ 罪 （ {一个}^{2} ） 因为 （ 1 ） - {一个}^{2} 因为 （ {一个}^{2} ） 罪 （ 1 ） \end{array}$

的零点 $F 一个$ 的局部极值 $F$ ：

持有在fplot(Fa，[0 10])网格在

图中包含一个轴对象。axis对象包含2个functionline类型的对象。

最大值在1和2之间。使用vpasolve求的零点的近似值 $F 一个$ 在这个区间内:

a_max = vpasolve(Fa,a，[1,2])

a_max =
                   $1.5782881585233198075558845180583$

使用潜艇要得到积分的最大值:

F_max = subs(F,a,a_max)

F_max =
                   $0.36730152527504169588661811770092 因为 （ 1 ） + 1.2020566879911789986062956284113 罪 （ 1 ）$

结果仍然包含精确的数字 $罪（ 1 ）$ 而且 $因为（ 1 ）$ ．使用vpa用数值近似代替:

vpa (F_max)

ans =
                   $1.2099496860938456039155811226054$

检查排除的情况 $一个＝ 1$ 不会产生更大的值:

vpa (int (sin (x) * sin (x), x, 1, 1))

ans =
                   $0.54535128658715915230199006704413$

多个集成

高维区域上的数值积分有特殊的功能:

integral2 (@ (x, y) x ^ 2 y ^ 2。0,- 1,0,1)

Ans = 4.0127e-19

对于高维符号积分，没有这样的特殊函数。使用嵌套的一维积分代替:

信谊xyint (int (x ^ 2 y ^ 2, y, 0, 1), x, 0, 1)

ans =
                   $0$

线积分

定义一个向量场F在三维空间中:

信谊xyzF(x,y,z) = [x^2*y*z, x*y, 2*y*z];

接下来，定义一条曲线:

信谊tUx (t) = sint;Uy (t) = t^2-t;Uz (t) = t;

的线积分F沿着曲线u定义为 $\int f \cdot d u ＝ \int f （ u x （ t ）， u y （ t ）， u z （ t ）） \cdot \frac{d u}{d t} d t$ ，在那里 $\cdot$ 右边表示标量积。

用这个定义来计算的线积分 $t$ 从 $［ 0 ， 1 ］$

F_int = int(F(ux,uy,uz)*diff([ux;uy;uz]，t)，t,0,1)

F_int =
                  
                    $\frac{19 因为 （ 1 ）}{4} - \frac{因为 （ 3. ）}{108} - 12 罪 （ 1 ） + \frac{罪 （ 3. ）}{27} + \frac{395}{54}$

得到这个精确结果的数值近似值:

vpa (F_int)

ans =
                   $- 0.20200778585035447453044423341349$