Pade近似值的时滞输入

这个例子展示了如何使用一个Pade近似式控制系统理论模型中响应时间延迟的一阶系统。出现时间延迟系统,如化学和运输过程中有一个输入和系统响应之间的延迟。这些输入建模时,他们被称为空载投入。

这个示例使用符号数学工具箱™求解一阶系统的传递函数和找到空载阶跃输入的系统响应使用Pade近似值。本例中执行计算象征性地获得分析结果。

介绍

Pade的近似值(m, n)近似函数f (x)周围 $x = x_{0}$ 作为

$\frac{{一个}_{0} + {一个}_{1} (x - - - - - - x_{0}) + \dots + {一个}_{米} (x - - - - - - x_{0})^{米}}{1 + b_{1} (x - - - - - - x_{0}) + \dots + b_{n} (x - - - - - - x_{0})^{n}} 。$

Pade的近似值是有理函数由两个幂级数的比率。因为它是一个有理函数,它比泰勒级数在近似函数更精确的波兰人。Pade的近似值是由符号数学工具箱™函数表示pade。

当存在一个杆或零扩张点 $x = x_{0}$ 的准确性,Pade近似值减少。提高准确性,使用另一种形式的Pade近似式

$\frac{(x - - - - - - x_{0})^{p} ({一个}_{0} + {一个}_{1} (x - - - - - - x_{0}) + \dots + {一个}_{米} (x - - - - - - x_{0})^{米})}{1 + b_{1} (x - - - - - - x_{0}) + \dots + b_{n} (x - - - - - - x_{0})^{n}} 。$

的pade函数返回的替代形式Pade近似值当你设置OrderMode输入参数相对。

找到一阶系统的传递函数

一阶系统的行为是由微分方程描述

$τ \frac{d y (t)}{d t} + y (t) = 一个 x (t) 。$

在MATLAB®输入微分方程。

信谊τ一个x (t)y (t)xS (s)y (s)H(年代)tmpF =τ* diff (y) * x + y = =;

找到的拉普拉斯变换F使用拉普拉斯。

F =拉普拉斯(F, t, s)

F =
                   $拉普拉斯 (y (t), t, 年代) - - - - - - τ (y (0) - - - - - - 年代 拉普拉斯 (y (t), t, 年代)) = 一个 拉普拉斯 (x (t), t, 年代)$

假设系统的响应t = 0是0。使用潜艇来代替y (0) = 0。

F =潜艇(F, y (0), 0)

F =
                   $拉普拉斯 (y (t), t, 年代) + 年代 τ 拉普拉斯 (y (t), t, 年代) = 一个 拉普拉斯 (x (t), t, 年代)$

收集常用术语,使用简化。

F =简化(F)

F =
                   $(年代 τ + 1) 拉普拉斯 (y (t), t, 年代) = 一个 拉普拉斯 (x (t), t, 年代)$

可读性,取代的拉普拉斯变换x (t)和y (t)与xS (s)和y (s)。

F =潜艇(F,[拉普拉斯(x (t), t, s)拉普拉斯(y (t), t, s)], [x (s) y (s)))

F =
                   $y (年代) (年代 τ + 1) = 一个 xS (年代)$

传递函数的拉普拉斯变换y (s) / xS (s)。方程的两边xS (s)并使用潜艇取代y (s) / xS (s)与H(年代)。

F = F / xS(年代);F =潜艇(F, y (s) / xS (s), H (s))

F =
                   $H (年代) (年代 τ + 1) = 一个$

解决的方程H(年代)。代替H(年代)哑变量,求出哑变量使用解决,分配的解决方案Hsol (s)。

F =潜艇(F、H (s), tmp);Hsol (s) =解决(F, tmp)

Hsol =
                  
                    $\frac{一个}{年代 τ + 1}$

找到时滞阶跃输入响应的系统

一阶系统的输入是一个阶跃输入。代表一个步骤的输入,使用亥维赛。延迟输入三个时间单位。发现使用拉普拉斯变换拉普拉斯。

一步=亥维赛(t - 3);一步=拉普拉斯(步骤)

一步=
                  
                    $\frac{e^{- - - - - - 3 年代}}{年代}$

发现系统的响应,这是传递函数和输入的产物。

y = Hsol (s) *步骤

y =
                  
                    $\frac{一个 e^{- - - - - - 3 年代}}{年代 (年代 τ + 1)}$

允许策划的回应,设置参数一个和τ特定的值。为一个和τ,选择值1和3,分别。

y =潜艇(y)(τ),3 [1]);y = ilaplace (y,年代);

找到响应的系统使用Pade近似值

找到Pade近似值(2 - 2)阶跃输入的使用顺序输入参数pade。

stepPade22 = pade(步骤,“秩序”(2 - 2))

stepPade22 =
                  
                    $\frac{3 {年代}^{2} - - - - - - 4 年代 + 2}{2 年代 (年代 + 1)}$

找到应对输入乘以传递函数和Pade近似式的输入。

* stepPade22 yPade22 = Hsol(年代)

yPade22 =
                  
                    $\frac{一个 (3 {年代}^{2} - - - - - - 4 年代 + 2)}{2 年代 (年代 τ + 1) (年代 + 1)}$

找到的拉普拉斯逆变换yPade22使用ilaplace。

yPade22 = ilaplace (yPade22年代)

yPade22 =
                  
                    $一个 + \frac{9 一个 e^{- - - - - - 年代}}{2 τ - - - - - - 2} - - - - - - \frac{一个 e^{- - - - - - \frac{年代}{τ}} (2 τ^{2} + 4 τ + 3)}{τ (2 τ - - - - - - 2)}$

情节响应,设置参数一个和τ他们的价值观1和3,分别。

yPade22 =潜艇(yPade22(τ),1 [3])

yPade22 =
                  
                    $\frac{9 e^{- - - - - - 年代}}{4} - - - - - - \frac{11 e^{- - - - - - \frac{年代}{3}}}{4} + 1$

画出系统的响应y并从Pade响应计算近似值yPade22。

fplot (y, 20 [0])在fplot (yPade22 20[0])网格在标题“Pade近似值空载阶跃输入的传奇(“空载阶跃输入响应”,“Pade近似式(2 - 2)的,…“位置”,“最佳”);

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题Pade近似值为空载阶跃输入包含2 functionline类型的对象。这些对象代表空载阶跃输入响应,Pade近似式(2 - 2)。

增加的准确性Pade使用OrderMode近似值

的(2 - 2)Pade近似值并不代表响应因为一个钢管扩张点的存在0。增加的准确性pade当有一个杆或零膨胀点,设置OrderMode输入参数相对和重复这些步骤。有关详细信息,请参见pade。

stepPade22Rel = pade(步骤,“秩序”(2 - 2),“OrderMode”,“相对”)

stepPade22Rel =
                  
                    $\frac{3 {年代}^{2} - - - - - - 6 年代 + 4}{年代 (3 {年代}^{2} + 6 年代 + 4)}$

* stepPade22Rel yPade22Rel = Hsol(年代)

yPade22Rel =
                  
                    $\frac{一个 (3 {年代}^{2} - - - - - - 6 年代 + 4)}{年代 (年代 τ + 1) (3 {年代}^{2} + 6 年代 + 4)}$

yPade22Rel = ilaplace (yPade22Rel);yPade22Rel =潜艇(yPade22Rel(τ),1 [3])

yPade22Rel =
                  
                    $\frac{12 e^{- - - - - - t} (因为 (\frac{\sqrt{3} t}{3}) + \frac{2 \sqrt{3} 罪 (\frac{\sqrt{3} t}{3})}{3})}{7} - - - - - - \frac{19 e^{- - - - - - \frac{t}{3}}}{7} + 1$

fplot (yPade22Rel 20] [0,“DisplayName的”,的相对Pade近似式(2 - 2)的)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题Pade近似值为空载阶跃输入包含3 functionline类型的对象。这些对象代表空载阶跃输入响应,Pade近似式(2 - 2),相对Pade近似式(2 - 2)。

增加的准确性Pade近似值通过增加订单

你可以增加的准确性Pade近似值通过增加订单。增加订单5 [4]和重复这些步骤。的n (n - 1)Pade近似值在近似响应更好t = 0比[n n]Pade近似值。

stepPade45 = pade(步骤,“秩序”[4 - 5])

stepPade45 =
                  
                    $\frac{27 {年代}^{4} - - - - - - 180年 {年代}^{3} + 540年 {年代}^{2} - - - - - - 840年 年代 + 560年}{年代 (27 {年代}^{4} + 180年 {年代}^{3} + 540年 {年代}^{2} + 840年 年代 + 560年)}$

* stepPade45 yPade45 = Hsol(年代)

yPade45 =
                  
                    $\frac{一个 (27 {年代}^{4} - - - - - - 180年 {年代}^{3} + 540年 {年代}^{2} - - - - - - 840年 年代 + 560年)}{年代 (年代 τ + 1) (27 {年代}^{4} + 180年 {年代}^{3} + 540年 {年代}^{2} + 840年 年代 + 560年)}$

yPade45 =潜艇(yPade45(τ),1 [3])

yPade45 =
                  
                    $\frac{27 {年代}^{4} - - - - - - 180年 {年代}^{3} + 540年 {年代}^{2} - - - - - - 840年 年代 + 560年}{年代 (3 年代 + 1) (27 {年代}^{4} + 180年 {年代}^{3} + 540年 {年代}^{2} + 840年 年代 + 560年)}$

找到的拉普拉斯逆变换yPade45使用ilaplace。近似yPade45数值使用vpa。情节Pade响应计算的近似值yPade45。

yPade45 = vpa (ilaplace (yPade45));fplot (yPade45 20] [0,“DisplayName的”,“Pade近似值[4 - 5])

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题Pade近似值为空载阶跃输入包含4 functionline类型的对象。这些对象代表空载阶跃输入响应,Pade近似式(2 - 2),相对Pade近似式(2 - 2),Pade近似值[4 - 5]。

结论

以下几点所示:

Pade近似值可以输入模型空载步骤。
的准确性Pade近似值随的增加近似式的顺序。
当存在一个杆或零膨胀点,Pade的近似值是不准确的扩张点。增加的准确性近似值,设置OrderMode选项相对。您还可以使用增加相对于分子分母的顺序。

另请参阅

功能

pade|diff|亥维赛|拉普拉斯|ilaplace|潜艇