为了更好地理解交叉频率点周围发生了什么,我们首先简单地谈谈我们的闭环系统的稳定性。一般来说,对于任何反馈控制体系结构,所有相关的闭环传递函数在分母上都有相同的特征多项式,系统的稳定性将由该多项式的根决定。
在我们的例子中,这个特征多项式是1+PC。对于频率响应,这个表达式是零当且仅当开环传递函数PC恰好等于-1,我是说,实-1,或者复平面上的(- 1,0)记住,当我们用jw替换误差时,传递函数P和C的乘积就变成了一个复向量,它的幅值和相位都是w的函数。
顺便说一下,这个图被称为奈奎斯特图,注意它是用与我们在波德图中使用的相同的信息构造的。主要的区别在于,波德图在两个单独的轴上显示传递函数的大小和相位,而奈奎斯特图在实平面和虚平面上的单个图中显示这两个量。对于每一个不同的w值,该矢量的大小和相位将在图上给出一个唯一的点。如果我们扫描w从0到∞的所有值,我们就会得到传递函数完整的频响轨迹。
在这种情况下,我们正在看开环传递函数PC的奈奎斯特图。注意,如果PC的轨迹经过(- 1,0)点,那么在那个点,对于那个激励频率,闭环传递函数的分母将变为0,这意味着T和S都将趋于无穷,很明显,我们的系统将爆炸,你可能会猜到,这将非常糟糕。(- 1,0)是临界稳定性边界,我们要确保开环设计,不管它是什么,都离它足够远。问题是,有多远?
顺便说一句,我们知道确定闭环系统的稳定性意味着找到1+PC的根是稳定的,也就是说它们都在复平面的左边。根据我们的控制器和设备的分子和分母的顺序,通过检查来求解所得到的特征多项式可能有点麻烦。这就是为什么我们使用劳斯-赫维茨公式,它决定多项式的根是正还是负仅仅通过看系数,或者奈奎斯特准则,它决定闭环系统的稳定性通过将开环传递函数上的零和极点的数量与频率跟踪的次数联系起来,奈奎斯特图,围绕(- 1,0)点。
不管怎样,我不想把事情搞得太复杂。假设我们有一个简单的稳定系统。就像我之前说的,真正的问题是,它有多稳定?为了回答这个问题,我们将查看开环轨迹上的两个临界点,其中一个点的轨迹大小等于1,另一个点的轨迹相位角等于-180度。
显然我们不希望这两个点相等因为那样就意味着我们在(-1,0)点之上。所以,我们寻找的稳定裕度类似于定义一个安全区域,以确保我们离该点足够远。
简单地说,角度安全系数,或相位裕度,表明在变得不稳定之前我们可以有多少额外的相位滞后。而量级安全系数,或增益边际,表明在变得不稳定之前我们可以获得多少额外的增益。
如果我可以用一个类比来帮助我解释这两个数字,想象一个在障碍滑雪道上的速降滑雪者。为了使他的速度最大化,他会在脑海中制定一个理想或理想的路径计划,以某种优化的方式带他通过这些门。当他沿着赛道前进时,他的实际路径可能会比期望的路径稍微滞后一点,但他仍然可以一直走到终点线。但如果他的实际转弯开始远远落后于他的理想路径,就会有一个点,滞后变得太大,他将无法恢复,更有可能以撞车或错过一个门而告终。换句话说,他违背了相边界。类似地,对于增益边际,可以将系统增益看作滑雪者转弯时的力度或锐度。如果他的转弯动作太剧烈,这意味着他使用了太多增益,他最终会过度纠正和过度射击到理想路径的一边,然后回到另一边,失去航向,最终坠毁在某个地方。
不管怎样,回到我们的波德图,(- 1,0)点的值是1,这意味着在图上是0分贝,相位是-180度。就像我们的控制器在应该拉的时候却在推,或者反之亦然,滑雪者在应该左转的时候却向右转。这样做不会有什么好处。
相位裕度是测量相位迹线和-180度线之间的差,在频率上,幅值穿过0 db。为了稳定,我们需要相位裕度大于0,但通常我们希望它保持在45度以上。通常建议相位裕度为60度,以获得相对平稳、阻尼良好的系统性能。
增益裕度测量为相位穿过-180度处的幅度的倒数。对数刻度的倒数表示符号变化。所以为了稳定,增益边际需要是一个正值。通常推荐5分贝以上的地方。
总结一下,稳定裕度的关键值之一是它们不仅能让我们直接从开环设计中确定闭环系统的整体稳定性,而且还能让我们知道我们有多稳定。好的稳定裕度,在一定程度上,当然,可以保证一定程度的性能并且可以保护我们不受系统动力学中的不确定性和未建模扰动的影响。
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