特征值分解

一个特征值而且特征向量一个方阵的一个分别是标量吗λ一个非零向量υ满足

用对角线矩阵Λ的对角线上的特征值和对应的特征向量构成矩阵的列V，你有

如果V是不是非奇异的，这就变成了特征值分解

微分方程的系数矩阵就是一个很好的例子dx/dt＝一个x：

A = 0 -6 -16 2 -16 -5 20 -10

这个方程的解用矩阵指数表示x（t) =e^t一个x（0)．该声明

lambda = eig(A)

的特征值生成列向量一个．对于这个矩阵，特征值是复的:

Lambda = -3.0710 -2.4645+17.6008i -2.4645-17.6008i

每个特征值的实部都是负的，所以e^λt趋近于0t增加。两个特征值的非零虚部，±ω的振荡分量sin(ωt)，到微分方程的解。

有两个输出参数，eig计算特征向量并将特征值存储在对角线矩阵中:

[V,D] = eig(A)

V = -0.8326 0.2003 - 0.1394i 0.2003 + 0.1394i -0.3553 -0.2110 - 0.6447i -0.2110 + 0.6447i -0.4248 -0.6930 -0.6930 D = -3.0710 00 0 -2.4645+17.6008i 00 0 -2.4645-17.6008i

第一个特征向量是实数另外两个向量是彼此的复共轭。这三个向量都被归一化为欧几里得长度，规范(v, 2)等于1。

矩阵V * D *发票(V)，可以更简洁地写成V * D / V的舍入误差范围内一个．而且,发票(V) * * V,或V \ * V的舍入误差范围内D．

多个特征值

有些矩阵没有特征向量分解。这些矩阵不能对角化。例如:

A = [1 -2 1 0 1 4 0 0 3]

对于这个矩阵

[V,D] = eig(A)

生产

V = 1.0000 1.0000 -0.5571 0 0.0000 0.7428 00 0.3714 d = 1 000 1 000 3

在处有一个二重特征值λ= 1。的第一列和第二列V都是一样的。对于这个矩阵，不存在完全线性无关的特征向量。

舒尔分解

许多高级矩阵计算不需要特征值分解。相反，它们是基于舒尔分解的

在哪里U是正交矩阵吗年代是对角线上有1 × 1和2 × 2块的块上三角矩阵。的对角线元素和块显示特征值年代，而列U提供一个正交基，它比一组特征向量有更好的数值性质。

例如，比较这个缺陷矩阵的特征值和Schur分解:

A = [6 12 19 -9 -20 -33 4 9 15];[V,D] = eig(A)

V = -0.4741 + 0.0000i -0.4082 - 0.0000i -0.4082 + 0.0000i 0.8127 + 0.0000i 0.8165 + 0.0000i 0.8165 + 0.0000i -0.3386 + 0.0000i -0.4082 + 0.0000i -0.4082 - 0.0000i D = -1.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.00000 i

[U,S] = schur(A)

U = -0.4741 0.6648 0.5774 0.8127 0.0782 0.5774 -0.3386 -0.7430 0.5774 s = -1.0000 20.7846 -44.6948 0 1.0000 -0.6096 0 0.0000 1.0000

矩阵一个是有缺陷的，因为它没有一个完整的线性无关的特征向量集(的第二列和第三列V都是一样的)。因为不是所有列的V是线性无关的，它有很大的条件数约为~1 e8．然而,舒尔能计算出三个不同的基向量U．自U是正交的,cond(U) = 1．

矩阵年代实数特征值是对角线上的第一个元素，重复的特征值由右下的2 × 2块表示。2 × 2块的特征值也是的特征值一个：

eig (S (2:3, 2:3))

Ans = 1.0000 + 0.0000i 1.0000 - 0.0000i