一个奇异值和相应的奇异向量矩形矩阵的一个分别是一个标量σ和一对向量u和v满足
在哪里
厄米转置是什么一个.奇异向量u和v通常缩放为1。同样,如果u和v的奇异向量一个,然后-u和-五的奇异向量一个
也
奇异值σ总是实数和非负的,即使一个是复杂的。用对角矩阵对角线上的奇异值Σ以及构成两个正交矩阵列的相应奇异向量U和V,你得到方程
自从U和V第一个方程乘以的是酉矩阵吗 右边是奇异值分解方程
an的完全奇异值分解米——- - - - - -n矩阵是一个米——- - - - - -米U,一个米——- - - - - -nΣ和一个n——- - - - - -nV.换句话说,U和V都是正方形的吗Σ大小是一样的吗一个.如果一个行比列多(m > n
),然后是结果米
——- - - - - -米
矩阵U很大。然而,大多数列U乘以0在哪里Σ.在这种情况下经济分解通过生成一个米——- - - - - -nU,一个n——- - - - - -nΣ和相同的V:
当矩阵表示从一个向量空间到它自身的映射时,特征值分解是分析矩阵的合适工具,就像它对一个常微分方程所做的那样。然而,奇异值分解是分析从一个向量空间到另一个向量空间(可能具有不同的维度)的映射的合适工具。大多数联立线性方程组都属于这第二类。
如果一个是方的,对称的,正定的,那么它的特征值和奇异值分解是相同的。但是,正如一个离开对称性和正定性,两种分解之间的差异增大。特别是,实矩阵的奇异值分解总是实的,但实非对称矩阵的特征值分解可能是复杂的。
对于示例矩阵
A = 9 4 6 8 2 7
给出了完全奇异值分解
[U,S,V] = svd(A) U = 0.6105 -0.7174 0.3355 0.6646 0.2336 0.7098 0.4308 0.6563 0.6194 S = 14.9359 0 0 5.1883 0 0 V = 0.6925 -0.7214 0.7214 0.6925
你可以验证一下U * * V”
等于一个
到舍入误差范围内。对于这个小问题,经济规模分解仅略小。
[U,S,V] = svd(A,0) U = 0.6105 -0.7174 0.6646 0.2336 0.4308 0.6563 S = 14.9359 0 0 5.1883 V = 0.6925 -0.7214 0.7214 0.6925
再一次,U * * V”
等于一个
到舍入误差范围内。
如果矩阵一个
是大而疏,然后用圣言会
计算所有奇异值和向量的计算并不总是实用的。例如,如果您只需要知道几个最大的奇异值,那么计算5000×5000稀疏矩阵的所有奇异值需要大量额外的工作。如果只需要奇异值和向量的子集,则圣言会
函数优先于圣言会
.
对于一个密度约为30%的1000 × 1000随机稀疏矩阵,
n=1000;A=南坡(n,n,0.3);
最大的六个奇异值是
S = svds(A) S = 130.2184 16.4358 16.4119 16.3688 16.3242 16.2838
另外,六个最小的奇异值是
S = svds(A,6,'最小'
对于可以作为完整矩阵存储在内存中的较小矩阵,完整的(一个)
,使用圣言(全(A))
可能还是比圣言会
.然而,对于真正的大型稀疏矩阵,使用圣言会
成为必要。