cgs
Conjugate gradients squared method
Syntax
x = cgs(A,b)
CGS（A，B，TOL）
CGS（A，B，TOL，MAXIT）
CGS（A，B，TOL，MAXIT，M）
cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2)
cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
[x，flag] = cgs（a，b，...）
[x，flag，relres] = cgs（a，b，...）
[x，flag，relres，iter] = cgs（a，b，...）
[x，flag，relres，iter，resvec] = cgs（a，b，...）
描述
x = cgs(A,b)attempts to solve the system of linear equationsa*x = bforx。这n-经过-n系数矩阵Amust be square and should be large and sparse. The column vectorbmust have lengthn。您可以指定Aas a function handle,好玩儿，这样afun（x）returns斧头。
Parameterizing Functionsexplains how to provide additional parameters to the function好玩儿，以及预处理功能mfundescribed below, if necessary.
如果cgs收敛，显示给该效果的消息。如果cgsfails to converge after the maximum number of iterations or halts for any reason, a warning message is printed displaying the relative residualnorm（b-a*x）/norm（b）和the iteration number at which the method stopped or failed.
CGS（A，B，TOL）指定了托勒ance of the method,托尔。如果托尔是[], thencgsuses the default,1e-6。
CGS（A，B，TOL，MAXIT）specifies the maximum number of iterations,最大。如果最大是[]thencgsuses the default,min(n,20)。
CGS（A，B，TOL，MAXIT，M）和cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2)use the preconditionerM或者M = M1*M2和effectively solve the systemInv（M）*A*X = Inv（M）*Bforx。如果M是[]thencgsapplies no preconditioner.M可以是函数句柄mfunsuch thatmfun（x）returnsM\x。
cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)指定初始猜测x0。如果x0是[], thencgsuses the default, an all-zero vector.
[x，flag] = cgs（a，b，...）returns a solutionx和a flag that describes the convergence ofcgs。
旗帜 |
收敛 |
|---|---|
|
|
|
|
|
Preconditioner |
|
|
|
One of the scalar quantities calculated during |
Whenever旗帜不是0， 解决方案x返回的是，在所有迭代中计算出最小的规范残差。如果旗帜指定输出。
[x，flag，relres] = cgs（a，b，...）还返回相对残差norm（b-a*x）/norm（b）。如果旗帜是0, thenrelres <= tol。
[x，flag，relres，iter] = cgs（a，b，...）also returns the iteration number at whichx被计算在哪里0 <= iter <= maxit。
[x，flag，relres，iter，resvec] = cgs（a，b，...）还返回每次迭代中残留规范的向量，包括norm(b-A*x0)。
例子
使用矩阵输入的CGS
A = gallery('wilk',21); b = sum(A,2); tol = 1e-12; maxit = 15; M1 = diag([10:-1:1 1 1:10]); x = cgs(A,b,tol,maxit,M1);
显示消息
cgs converged at iteration 13 to a solution with relative residual 2.4e-016.
将CGS与功能手柄一起使用
此示例替换矩阵A在上一个示例中，带有矩阵矢量产品功能的句柄好玩儿，和预处理M1with a handle to a backsolve functionmfun。这example is contained in the filerun_cgs那
Calls
cgswith the function handle@afunas its first argument.Contains
好玩儿作为嵌套函数，以便所有变量run_cgs可用于好玩儿和myfun。
这following shows the code forrun_cgs:
function x1 = run_cgs n = 21; b = afun(ones(n,1)); tol = 1e-12; maxit = 15; x1 = cgs(@afun,b,tol,maxit,@mfun); function y = afun(x) y = [0; x(1:n-1)] + ... [((n-1)/2:-1:0)'; (1:(n-1)/2)'].*x + ... [x(2:n); 0]; end function y = mfun(r) y = r ./ [((n-1)/2:-1:1)'; 1; (1:(n-1)/2)']; end end
When you enter
x1 = run_cgs
MATLAB®software returns
cgs converged at iteration 13 to a solution with relative residual 2.4e-016.
将CGS与预处理使用。
此示例演示了使用预处理。
加载West0479, a real 479-by-479 nonsymmetric sparse matrix.
loadWest0479; A = west0479;
Definebso that the true solution is a vector of all ones.
b = full（sum（a，2））;
设置公差和最大迭代次数。
托尔= 1e-12; maxit = 20;
采用cgs以所需的公差和迭代次数找到解决方案。
[x0，fl0，rr0，it0，rv0] = cgs（a，b，tol，maxit）;
fl0是1 becausecgs不收敛到请求的公差1e-12在请求的20次迭代中。实际上，行为cgs是so poor that the initial guess (x0 =零（size（a，2），1）是the best solution and is returned as indicated byIT0 = 0。MATLAB stores the residual history inrv0。
Plot the behavior ofcgs。
semilogy(0:maxit,rv0/norm(b),'-o'）；xlabel('迭代编号'）；ylabel(“相对残留”）；
该图表明该解决方案不收敛。您可以使用预处理来改善结果。
用伊卢, sinceA是nonsymmetric.
[L,U] = ilu(A,struct('类型','ilutp','Droptol'，1E-5））;
Error using ilu There is a pivot equal to zero. Consider decreasing the drop tolerance or consider using the 'udiag' option.
MATLAB无法构建不完整的LU，因为它会导致一个奇异的因素，这是无用的预处理。
如错误消息所示，您可以使用降低的降低公差重试。
[L,U] = ilu(A,struct('类型','ilutp','Droptol',1e-6)); [x1,fl1,rr1,it1,rv1] = cgs(A,b,tol,maxit,L,U);
fl1是0 becausecgsdrives the relative residual to4.3851E-014(the value ofRR1). The relative residual is less than the prescribed tolerance of1e-12at the third iteration (the value ofit1) when preconditioned by the incomplete LU factorization with a drop tolerance of1e-6。输出RV1（1）是norm(b)和the outputRV1（14）是norm(b-A*x2)。
You can follow the progress ofcgs通过从初始估计开始（迭代号0）开始在每次迭代处绘制相对残差。
半学（0：IT1，RV1/NORM（B），，'-o'）；xlabel('迭代编号'）；ylabel(“相对残留”）；
参考
[1] Barrett, R., M. Berry, T. F. Chan, et al.,Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods，暹罗，费城，1994年。
[2] Sonneveld，Peter，“ CGS：非对称线性系统的快速兰科斯型求解器”，”SIAM J. Sci. Stat. Comput., January 1989, Vol. 10, No. 1, pp. 36–52.
Extended Capabilities
在R2006a之前引入
