画廊
测试矩阵
语法
[A, B, C,…]=画廊(matname, P1, P2,…)
[A, B, C,…]=画廊(matname, P1, P2,…,名称)
画廊(3)
画廊(5)
描述
[A, B, C,…]=画廊(matname, P1, P2,…)
返回指定的测试矩阵matname
。的matname
输入是一个矩阵的名字家庭从下表中选择。P1, P2,……
个人矩阵家庭所需的输入参数。可选参数的数量P1, P2,……
用于调用语法不同矩阵的矩阵。确切的调用语法详细个人矩阵描述如下。
[A, B, C,…]=画廊(matname, P1, P2,…,名称)
产生一个矩阵的类类名称
。的类名称
输入必须是“单一”
或“双”
(除非matname
是“integerdata”
,在这种情况下“int8”
,“int16”
,“int32”
,“uint8”
,“uint16”
,“uint32”
也允许)。如果类名称
没有指定,那么从这些参数确定矩阵的类中P1, P2,……
不指定维度或选择一个选项。如果这些参数的类单
矩阵是单
;否则,矩阵是双
。
画廊(3)
是一个3×3的矩阵和严重的条件画廊(5)
是一个有趣的特征值问题。
画廊拥有五十多个不同的测试矩阵函数用于测试算法和其他用途。
二项,对合矩阵的倍数
一个=画廊(二项,n)
返回一个n
——- - - - - -n
与整数矩阵,这样的条目^ 2 = 2 ^ (n - 1) *眼(n)
。
因此,B = * 2 ^((其它)/ 2)
是对合,B ^ 2 =眼睛(n)
。
柯西-柯西矩阵
C =画廊(柯西,x, y)
返回一个n
——- - - - - -n
矩阵,C (i, j) = 1 / (x(我)+ y (j))
。参数x
和y
向量的长度n
。如果你通过在标量x
和y
,他们是解释为向量1:x
和1:y
。
C =画廊(柯西,x)
返回同上y = x
。也就是说,命令返回C (i, j) = 1 / (x(我)+ x (j))
。
显式公式以柯西矩阵的逆矩阵和行列式。行列式依据(C)
是零,如果x
和y
都有不同的元素。C
是完全积极的,如果0 < x (1) <…< x (n)
和0 < y (1) <…< y (n)
。
chebspec -切比雪夫光谱微分矩阵
C =画廊(chebspec, n,开关)
返回一个切比雪夫光谱微分矩阵n
。论点开关
是一个变量,决定了输出的字符矩阵。默认情况下,开关
=0
。
为开关
=0
(“没有边界条件”),C
是幂零(C ^ n = 0
)和零向量的(n, 1)
。矩阵C
类似于约当块大小n
特征值为零。
为开关
=1
,C
非奇异的状态良好的,及其特征值负实际零件。
切比雪夫光谱微分矩阵的特征向量矩阵是坏脾气的。
chebvand——Vandermonde-like切比雪夫多项式矩阵
C =画廊(chebvand, p)
生产(原始的)切比雪夫范德蒙矩阵向量的基础上分p
,它们定义了切比雪夫多项式计算。
C =画廊(chebvand, m, p)
在哪里米
是标量,产生一个矩形上面版本的,米
行。
如果p
是一个矢量,然后呢C(我,j)=T我- 1(p(j)),T我- 1切比雪夫多项式的学位我- 1。如果p
是一个标量,然后呢p
等距的点区间[0,1]
用于计算C
。
chow -奇异Hessenberg低托普利兹矩阵
=画廊(‘食物’,n,α,δ)
返回一个
这样= H(α)+δ*眼(n)
,在那里H我,我(α)=α(我- - - - - -j+ 1)和参数n
是食物的顺序矩阵。默认值为标量α
和δ
是1
和0
,分别。
H(α)
有p =地板(n / 2)
特征值等于零。其余的特征值是相等的4 * * cosα(k *π/ (n + 2)) ^ 2 k = 1:阻燃剂
。
线性构造——循环矩阵
C =画廊(“线性”,v)
返回循环矩阵的第一行向量v
。
循环矩阵的性质,每一行从周期性排列的前一个条目的一个进步。它是一种特殊的托普利兹矩阵的对角线“环绕”。
如果v
是一个标量,然后呢C =画廊(“线性”,1:v)
。
的eigensystemC
(n
——- - - - - -n
)是已知的明确:如果t
是一个n
th团结的根,然后的内积v
和w= [1tt2…t(n- 1)的特征值C
和w (n: 1:1)
是一个特征向量。
克莱门特-三对角矩阵的零对角条目
一个=画廊(clement, n, k)
返回一个n
——- - - - - -n
三对角矩阵主对角线和已知的特征值为0。如果是单数n
是奇数。大约64%的条目的逆为零。特征值包括+和-的数字n - 1
,n - 3
,存在
,…
,(1或0)。
为k = 0
(默认),一个
非对称。为k = 1
,一个
是对称的。
画廊(clement, n, 1)
对角相似画廊(clement, n)
。
为奇数N = 2 * M + 1
,M + 1
奇异值的整数√(2 * M + 1) ^ 2 - (2 * K + 1) ^ 2)
为K = 0: M
。
请注意
类似的属性保持画廊(tridiag, x, y, z)
在哪里y = 0 (n, 1)
。特征值仍有+ / -双但不清楚明确。
大连——比较矩阵
一个=画廊(“境况”,1)
返回一个
与每个对角元素取代了它的绝对值,每个非对角元素取代-绝对值最大的元素的绝对值的行。然而,如果一个
是三角形的情况(1)
太。
画廊(“境况”,)
是诊断接头(B) -下三角阵(B - 1) - triu (B, 1)
,在那里B = abs (A)
。大连(A)
通常是用(一个在文学。
画廊(“境况”,0)
是一样的画廊(“境况”,)
。
condex——反例矩阵条件数估计
=画廊(condex, n, k,θ)
返回一个“反例”矩阵估计量。它有订单n
和标量参数θ
100(默认)。
矩阵,其自然大小,估计它适用规定k
:
|
4×4 |
LINPACK |
|
3 x3的 |
LINPACK |
|
任意的 |
LINPACK ( |
|
|
LAPACK (RCOND)(默认)。这个矩阵的逆,是一个反例。 |
如果n
不等于自然矩阵的大小,然后的矩阵是一个单位矩阵来点菜了吗n
。
重复周期性cycol——矩阵的列
=画廊(“cycol”(mn), k)
返回一个米
——- - - - - -n
具有周期性重复的列的矩阵,其中一个“循环”包含randn (m, k)
。因此,矩阵的秩一个
不能超过k
,k
必须是一个标量。
论点k
默认为轮(n / 4)
,不需要均匀划分n
。
一个=画廊(cycol, n, k)
,在那里n
是一个标量,是一样的吗画廊(“cycol”, [n n], k)
。
多尔-对角占优,坏脾气的,三对角矩阵
[c, d, e] =画廊(多尔,n,θ)
返回向量定义一个n
——- - - - - -n
行对角占优,三对角矩阵是坏脾气的小非负的值θ
。的默认值θ
是0.01
。多尔矩阵本身是一样的画廊(tridiag, c, d, e)
。
一个=画廊(多尔,n,θ)
收益矩阵本身,而不是定义向量。
dramadah——矩阵逆的0和1大整数条目
一个=画廊(dramadah, n, k)
返回一个n
——- - - - - -n
矩阵的0
的年代,1
的,μ(A) =规范(发票(A),“来回”)
是相对较大的,尽管不一定最大。一个anti-Hadamard矩阵一个
是一个矩阵元素0
或1
的μ(A)
是最大的。
n
和k
必须都是标量。论点k
决定了输出的字符矩阵:
k = 1 |
违约。 |
k = 2 |
|
k = 3 |
|
菲德勒——对称矩阵
一个=画廊(菲德勒,c)
,在那里c
是一个长度n
向量,返回n
——- - - - - -n
对称矩阵的元素abs (n (i) - n (j))
。对于标量c
,一个=画廊(菲德勒,1:c)
。
矩阵一个
有一个占主导地位的积极特征值和所有其他特征值是负的。
显式公式发票(一个)
和依据(A)
给出了(托德,J。基本数值数学,卷。2:数值代数、Birkhauser、巴塞尔和学术出版社,纽约,1977年,p . 159]和归因于菲德勒。这些表明,发票(一个)
三对角除了非零吗(1,n)
和(n, 1)
元素。
活力四射,摄动约当块
一个=画廊(活力四射,n,αλ)
返回n
——- - - - - -n
矩阵特征值的约当块λ
,除了(n, 1) =α
。标量的默认值α
和λ
是sqrt (eps)
和0
,分别。
的特征多项式一个
是由:
依据(t * I) =(λt) ^ N -α* (1)^ N。
弗兰克-矩阵与坏脾气的特征值
F =画廊(“弗兰克”,n, k)
返回弗兰克矩阵n
。这是上层Hessenberg行列式1
。如果k = 1
,关于反对角的元素是反映(1,n)
- - - - - -(n, 1)
。的特征值F
可以获得埃尔米特多项式的0。他们是积极的,发生在互惠双;因此,如果n
是奇数,1
是一个特征值。F
有地板(n / 2)
坏脾气的特征值较小的。
gcdmat——最大公约数矩阵
一个=画廊(gcdmat, n)
返回n
——- - - - - -n
矩阵(i, j)
条目肾小球囊性肾病(i, j)
。矩阵一个
是对称的正定,a r ^
对称半正定,负的吗r
。
gearmat——齿轮矩阵
一个=画廊(gearmat, n, i, j)
返回n
——- - - - - -n
矩阵的子任务和super-diagonals,号(我)
在(1、abs(我))
的位置,号(j)
在(n, n + 1-abs (j))
位置,和0。参数我
和j
默认为n
和- n
,分别。
矩阵一个
是奇异的,可以有特征值的两倍和三倍,并且可以有缺陷。
所有特征值的形式2 * cos(一个)
和特征向量的形式[罪(w + a),罪(w + 2 *)……罪(w + n *))
,在那里一个
和w
给出了齿轮,c W。,“A Simple Set of Test Matrices for Eigenvalue Programs,”数学。电脑及相关知识卷。23(1969),页119 - 125。
grcar——托普利兹矩阵特征值与敏感
一个=画廊(grcar, n, k)
返回一个n
——- - - - - -n
托普利兹矩阵1
年代副斜杆,1
对角线上,k
superdiagonals的1
年代。默认k = 3
。特征值很敏感。
hanowa——矩阵的特征值在复平面躺在一条垂直线
一个=画廊(hanowa, n, d)
返回一个n
——- - - - - -n
块2
——- - - - - -2
矩阵的形式:
[d *眼(m)诊断接头(1:m)诊断接头(1:m) d *眼(m))
论点n
是一个偶数n = 2 * m
。矩阵一个
复特征值的形式吗d
±k *我
,因为1 < = k < = m
。的默认值d
是1
。
房子,户主矩阵
[v,β,s] =画廊(‘房子’,x, k)
需要x
,一个n
元列向量,并返回V
和β
这样H * x = s * e1
。在这个表达式,e1
第一列的吗眼睛(n)
,abs (s) (x) =标准
,H =眼(n) -β* V * V '
是一个户主矩阵。
k
确定的标志年代
:
|
|
|
|
|
|
如果x
很复杂,标志(x) = x / abs (x)
当x
是零。
如果x = 0
,或者如果x =α* e1
(α> = 0
),要么k = 1
或k = 2
,然后V = 0
,β= 1
,s = x (1)
。在这种情况下,H
是单位矩阵,它不是严格意义上的户主矩阵。
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
[v,β]=画廊(‘房子’,x)
需要x
一个标量或n
元列向量,并返回v
和β
这样眼睛(n, n) -β* v * v '
是一个户主矩阵。一个房主矩阵H
满足的关系
H * x =‘(x(1)) *规范(x) * e1
在哪里e1
第一列的吗眼睛(n, n)
。注意,如果x
很复杂,标志(x) = exp(我* arg (x))
(等于x / abs (x)
当x
非零)。
如果x = 0
,然后v = 0
和β= 1
。
integerdata——数组的任意数据均匀分布在指定范围的整数
=画廊(integerdata, imax (m, n,…), j)
返回一个米
——- - - - - -n
——-…数组一个
的值是整数上均匀分布的样本1:imax
。j
必须是一个整数值区间[0,2 ^ 32-1]
。调用画廊(integerdata,…)
不同的价值观J
将返回不同的数组。重复调用画廊(integerdata,…)
用同样的imax
、大小输入向量和j将始终返回相同的数组。
在任何一个电话画廊(integerdata,…)
你可以用单独的输入米
,n
,……大小的输入向量(m, n,…)
。例如,画廊(' integerdata ' 7 (1、2、3、4), 5)
相当于画廊(integerdata, 7日,1、2、3、4、5)
。
=画廊(“integerdata”, [imin imax], [m, n,…], j)
返回一个米
——- - - - - -n
——-…数组一个
的值是整数上均匀分布的样本imin: imax
。
[A, B,…)=画廊(“integerdata”, [imin imax], [m, n,…], j)
返回多个米
——- - - - - -n
——-…数组一个
,B
,……,containing different values.
=画廊(“integerdata”, [imin imax], [m, n,…], j,名称)
产生一个数组的类类名称
。类名称
必须“uint8”
,“uint16”
,“uint32”
,“int8”
,“int16”
,int32”
,“单一”
或“双”
。
invhess——上Hessenberg矩阵的逆
一个=画廊(invhess, x, y)
,在那里x
是一个长度n
向量和y
是一个长度n - 1
向量,返回矩阵的下三角的同意的(n - 1) * x '
,其严格上三角的同意y [1] * 1 (1, n)
。
矩阵是非奇异的x (1) ~ = 0
和x (i + 1) ~ = y(我)
对所有我
上层Hessenberg,它的逆矩阵是一个矩阵。论点y
默认为- x (1: n - 1)
。
如果x
是一个标量,invhess (x)
是一样的invhess (1: x)
。
不,对合矩阵
一个=画廊(“不”,n)
返回一个n
——- - - - - -n
对合(* =眼(n))
和坏脾气的矩阵。这是一个对角的扩展版本hilb (n)
。
B =(眼(n) - a) / 2
和B =(眼睛(n) +) / 2
是幂等(B * B = B)
。
ipjfact——汉克尔矩阵阶乘元素
[d] =画廊(ipjfact, n, k)
返回一个
,一个n
——- - - - - -n
汉克尔矩阵,d
的决定因素一个
明确,这是已知的。如果k = 0
(默认),然后的元素一个
是一个(i, j) = (i + j) !
。如果k = 1
,然后的元素一个
是(i, j) = 1 / (i + j)
。
注意的倒数一个
也明确。
jordbloc——约当块
一个=画廊(jordbloc, n,λ)
返回n
——- - - - - -n
约当块与特征值λ
。的默认值λ
是1
。
卡亨——上梯形矩阵
一个=画廊(卡亨,n,θ,pert)
返回一个上梯形矩阵,有趣的属性状态估计和排名情况。
如果n
是一个双元素向量,然后呢一个
是n (1)
——- - - - - -n (2)
;否则,一个
是n
——- - - - - -n
。的有用的范围θ
是0 <θ<π
,一个默认值1.2
。
确保QR分解与列旋转不交换列舍入误差的存在,对角线是摄动pert * eps *诊断接头((n: 1:1))
。默认的无礼的
是25
,确保没有交换画廊(卡亨,n)
至少n = 90
在IEEE®算术。
公里——Kac-Murdock-Szego托普利兹矩阵
一个=画廊(“公里”,n,ρ)
返回n
——- - - - - -n
这样Kac-Murdock-Szego托普利兹矩阵(i, j) =ρ^ (abs (i j))
,真正的ρ
。
对于复杂的ρ
,相同的公式,除了以下对角线元素共轭。ρ
默认为0.5。
公里矩阵一个
这些属性:
低密度脂蛋白的分解
L =发票(画廊(triw, n,ρ,1))”
,D(我)= (1-abs(ρ)^ 2)*眼(n)
,除了D (1,1) = 1
。正定当且仅当
0 < abs(ρ)< 1
。逆
发票(一个)
三对角。
维-维矩阵
B =画廊(“维”,A, x, j)
返回维矩阵
Ax [x, x ^ 2,…、^ (j - 1) x]
在哪里一个
是一个n
——- - - - - -n
矩阵和x
是一个长度n
向量。默认值是x = 1 (n, 1)
,j = n
。
B =画廊(“维”,n)
是一样的画廊(“维”,randn (n))
。
lauchli——矩形矩阵
一个=画廊(lauchli, n,μ)
返回(n + 1)
——- - - - - -n
矩阵
[(1,n)的;μ*眼(n))
Lauchli矩阵最小二乘和其他问题是一个著名的例子表明形成的危险“*
。论点μ
默认为sqrt (eps)
。
黄土-对称正定矩阵
一个=画廊(“黄土”,n)
返回对称正定n
——- - - - - -n
矩阵,(i, j) = i / j
为j > =我
。
黄土矩阵一个
这些属性:
一个
完全是负的。逆
发票(一个)
三对角和明确。订单
n < =电导率(A) < = 4 * n * n
。
莱斯利-矩阵的出生数量和存活率
L =画廊(leslie, a, b)
是n
——- - - - - -n
矩阵从莱斯利人口模型平均生育数量(1:n)
和存活率b (1: n - 1)
。它是零,除了第一行(包含(我)
)和第一副斜杆(包含b(我)
)。对于一个有效的模型,(我)
是负的,b(我)
是积极和有界1,即0 < b (i) < = 1
。
L =画廊(leslie, n)
生成矩阵a = 1 (n, 1)
,b =的(n - 1, - 1)
。
lesp——三对角矩阵与真正的,敏感的特征值
一个=画廊(lesp, n)
返回一个n
——- - - - - -n
矩阵的特征值是真实的和平稳分布间隔约(2 * n - 3.5, -4.5)
。
特征值的敏感性增加指数特征值越来越消极。矩阵与对称三对角矩阵的对角条目和非对角的条目1相同,通过相似变换2 D =诊断接头(1 ! !…,n !)
。
lotkin——lotkin矩阵
一个=画廊(lotkin, n)
返回希尔伯特矩阵的第一行所有的改变。Lotkin矩阵一个
非对称,坏脾气的,有很多负特征值的大小。它的逆整数条目和明确。
minij——对称正定矩阵
一个=画廊(minij, n)
返回n
——- - - - - -n
对称正定矩阵(i, j) = min (i, j)
。
的minij
矩阵具有这些属性:
逆
发票(一个)
三对角,等于什么1
除了其乘以第二个差别矩阵,(n, n)
元素是1
。吉文斯的矩阵,
2 *第一流的(大小(A))
三对角逆矩阵和特征值0.5 *秒((2 * r 1) *π/ (4 * n)) ^ 2
,在那里r = 1: n
。(n + 1) *(大小(A))
有元素马克斯(i, j)
和一个三对角逆。
硅藻土-对称正定矩阵
一个=画廊(硅藻土,n,α)
返回对称正定n
——- - - - - -n
矩阵U‘*
,在那里U =画廊(triw, n,α)
。
为默认α
=1
,(i, j) = 2分钟(i, j)
,(我)=我
。的一个特征值一个
很小。
诺伊曼——奇异矩阵的离散诺伊曼问题(稀疏)
C =画廊(纽曼,n)
返回稀疏n
——- - - - - -n
离散化带来的奇异,行对角占优矩阵的诺伊曼问题通常五点运营商经常网。论点n
是一个完美的平方整数n=米2或一个双元素向量。C
稀疏,一维零与零向量空间的(n, 1)
。
normaldata——任意标准正态分布的数据的数组
=画廊(“normaldata”(m, n,…), j)
返回一个米
——- - - - - -n
——-…数组一个
。的值一个
是标准正态分布的随机样本。j
必须是一个整数值区间[0,2 ^ 32-1]
。调用画廊(normaldata,…)
不同的价值观j
将返回不同的数组。重复调用画廊(normaldata,…)
与同样大小的矢量和j
输入将始终返回相同的数组。
在任何一个电话画廊(normaldata,…)
你可以用单独的输入米
,n
,……大小的输入向量(m, n,…)
。例如,画廊(“normaldata”(1、2、3、4), 5)
相当于画廊(' normaldata ', 1, 2, 3, 4, 5)
。
[A, B,…]=画廊(“normaldata”(m, n,…), j)
返回多个米
——- - - - - -n
——-…数组一个
,B
,……,containing different values.
一个=画廊(“normaldata”, [m, n,…),j,类名)
产生一个矩阵的类类名称
。类名称
必须是“单一”
或“双”
。
生成任意6-by-4矩阵的标准正态分布的数据N (0, 1)
对应于j = 2
:。
x =画廊(normaldata, (6, 4), 2);
生成任意1-by-2-by-3单一标准正态分布的数据的数组N (0, 1)
对应于j = 17
:。
y =画廊(normaldata, 1、2、3, 17日,“单”);
orthog——正交和近正交矩阵
Q =画廊(orthog, n, k)
返回矩阵的k型n
,在那里k > 0
选择完全正交矩阵,k < 0
选择正交矩阵的对角落下的石块。可用的类型是:
|
对称二差别矩阵特征向量矩阵。这是默认的。 |
|
对称的。 |
|
酉,傅里叶矩阵。问^ 4是身份。这本质上是相同的矩阵 |
|
Helmert矩阵:下Hessenberg矩阵的排列的第一行 |
|
对称矩阵产生的哈特利变换。 |
|
对称矩阵产生离散余弦变换。 |
|
切比雪夫Vandermonde-like矩阵,基于极值 |
|
切比雪夫Vandermonde-like矩阵,基于零 |
参与者——托普利兹矩阵奇异值附近π
C =画廊(“合伙人”,n)
返回矩阵C
这样C (i, j) = 1 / (i j + 0.5)
。
C
是一个柯西矩阵和托普利兹矩阵。大多数的奇异值C
非常接近π
。
裴,裴矩阵
一个=画廊(“裴”,n,α)
,在那里α
是一个标量,返回对称矩阵α*眼(n) + 1 (n)
。的默认值α
是1。矩阵是奇异的α
等于或0
或-n
。
泊松块三对角矩阵,从泊松方程(稀疏)
一个=画廊(泊松,n)
返回一块三对角矩阵(稀疏)n ^ 2
产生的离散化和5点操作符在一个泊松方程n
——- - - - - -n
网。
扩展的,对称的,坏脾气的托普利兹矩阵
一个=画廊(扁长的,n, w)
返回n
——- - - - - -n
扩展的矩阵的参数w
。这是一个对称的托普利兹矩阵。
如果0 < w < 0.5
然后一个
是正定
的特征值
一个
是截然不同的,躺在(0,1)
,倾向于集群0
和1
。的默认值
w
是0.25。
randcolu——随机矩阵规范化关口和奇异值指定
一个=画廊(randcolu, n)
是一个随机n
——- - - - - -n
矩阵的列单元2-norm,用随机奇异值的平方是均匀分布的。
“*
相关矩阵的形式产生的画廊(randcorr, n)
。
画廊(randcolu, x)
在哪里x
是一个n
向量(n
> 1),产生一个随机的n
——- - - - - -n
矩阵奇异值的向量x
。向量x
必须有非负元素的平方和n
。
画廊(randcolu, x,米)
在哪里m > = n
,产生一个米
——- - - - - -n
矩阵。
画廊(randcolu, x, m, k)
提供了进一步的选择:
|
|
|
最初的转换是省略。这是更快,但所得的矩阵可能有零个条目。 |
有关更多信息,请参见[4]。
randcorr——随机相关矩阵特征值指定
画廊(randcorr, n)
是一个随机n
——- - - - - -n
相关矩阵和随机均匀分布的特征值。相关矩阵是一个对称半正定矩阵1
对角线上(见corrcoef
)。
画廊(randcorr, x)
产生一个随机相关矩阵特征值的向量x
,在那里长度(x) > 1
。向量x
必须有非负元素求和长度(x)
。
画廊(randcorr, x, k)
提供了进一步的选择:
|
对角矩阵的特征值是最初受到随机正交相似变换,然后应用一系列吉文斯旋转(默认)。 |
|
最初的转换是省略。这是更快,但所得的矩阵可能有一些零条目。 |
randhess——随机正交上Hessenberg矩阵
H =画廊(randhess, n)
返回一个n
——- - - - - -n
真实的,随机的,上层Hessenberg正交矩阵。
H =画廊(randhess, x)
如果x
是一个任意的,真实的,长度吗n
向量和n > 1
,构建H
非随机使用的元素x
作为参数。
矩阵H
通过构造的产物吗n - 1
吉文斯旋转。
randjorth——随机J-orthogonal矩阵
一个=画廊(randjorth, n)
一个正整数n
,产生一个随机的n
——- - - - - -n
J
正交矩阵一个
,在那里
J = blkdiag(眼睛(装天花板(n / 2)),黑眼圈(地板(n / 2)))
气孔导度(A) =√1 /每股收益)
J
正交性意味着一个“* J * = J .这样的矩阵是有时被称为双曲。
一个=画廊(randjorth, n,米)
为正整数n
和米
产生一个随机的(n + m
)——- (n + m
)J
正交矩阵一个
,在那里
J = blkdiag(眼(n),黑眼圈(m))
气孔导度(A) =√1 /每股收益)
一个=画廊(randjorth, n, m c symm,方法)
使用下面的可选的输入参数:
c
——指定气孔导度(A)
是标量c
。symm
——执行对称标量symm
是零。方法
——调用qr
如果标量进行底层的正交变换方法
是零。调用qr
大尺寸的默认方法要快得多吗
金兰——随机矩阵元素组成的,0或1
一个=画廊(“金兰”,n, k)
返回一个随机的n
——- - - - - -n
矩阵的元素从一个离散分布如下:
|
|
|
|
|
|
论点n
可能是一个双元素向量,在这种情况下,矩阵是什么n (1)
——- - - - - -n (2)
。
randsvd——与预先分配的随机矩阵奇异值
=画廊(randsvd, n, k,模式,吉隆坡,ku)
返回一个带状(multidiagonal)随机矩阵的顺序n
与气孔导度(A) = k
和奇异值分布模式。如果n
是一个双元素向量,一个
是n (1)
——- - - - - -n (2)
。
参数吉隆坡
和ku
指定的上下非对角的数量,分别一个
。如果省略,产生一个完整的矩阵。如果只有吉隆坡
存在,ku
默认为吉隆坡
。
分布模式
可以是:
|
一个大的奇异值。 |
|
一个小奇异值。 |
|
几何分布的奇异值(默认)。 |
|
算术上分布的奇异值。 |
|
随机均匀分布对数奇异值。 |
|
如果 |
条件数卡巴
默认为√1 /每股收益)
。在特殊情况下kappa < 0
,一个
是一个随机的,完整的、对称的,正定矩阵气孔导度(A) = k
和特征值分布模式
。参数吉隆坡
和ku
如果存在,忽略。
=画廊(randsvd, n, k,模式,吉隆坡,ku,方法)
指定如何进行计算。方法= 0
是默认的,方法= 1
使用另一种方法更快的大尺寸,尽管它使用更多的失败。
redheff——Redheffer 0和1的矩阵
一个=画廊(redheff, n)
返回一个n
——- - - - - -n
矩阵的0
的年代,1
的定义为(i, j) = 1
,如果j = 1
或者,如果我
分j
,(i, j) = 0
否则。
Redheffer矩阵具有这些属性:
(n-floor (log2 (n))) 1
特征值等于1
一个真正的特征值(谱半径)约
sqrt (n)
负特征值约
-√(n)
剩余的特征值可能为“小”。
当且仅当黎曼假设是如此 对于每一个ε
> 0
。
巴雷特和贾维斯猜想,“小特征值都躺在单位圆abs (Z) = 1
”,这一猜想的证明,连同一些特征值趋于零的证明n
趋于无穷时,将产生一个新的素数定理的证明。
黎曼-矩阵与黎曼假设有关
一个=画廊(黎曼,n)
返回一个n
——- - - - - -n
矩阵的黎曼假设是正确的,当且仅当
对于每一个ε> 0。
黎曼矩阵被定义为:
A = B (2: n + 1, 2: n + 1)
在哪里张(i, j) =
如果我
分j
,B (i, j) = 1
否则。
黎曼矩阵具有这些属性:
每个特征值
e(我)
满足abs (e(我)< = m - 1 / m
,在那里m = n + 1
。我< = e (i) < = + 1
在大多数m-sqrt (m)
例外。所有整数区间
(3 m / m / 2)
特征值。
ris——对称汉克尔矩阵
一个=画廊(ris, n)
返回一个对称的n
——- - - - - -n
汉克尔矩阵元素
(i, j) = 0.5 / (n-i-j + 1.5)
的特征值一个
集群在π/ 2,π/ 2。这个矩阵是F.N. Ris发明的。
采样-非对称矩阵特征值与坏脾气的整数。
一个=画廊(“抽样”,x)
,在那里x
是一个n
向量,是n
——- - - - - -n
矩阵(i, j) = X(我)/ (X (i) - X (j))
为我~ = j
和(j, j)
列的非对角元素的总和j
。一个有特征值0:n - 1
。特征值0n
相应的特征向量X
和的(n, 1)
,分别。
坏脾气的特征值。一个
的属性,一个(i, j) + (j, i) = 1
为我~ = j
。
显式公式可用于左特征向量一个
。对于标量n
,画廊(“抽样”,n)
是一样的画廊(“抽样”,1:n)
。这个矩阵的一种特殊情况出现在抽样理论。
烟,“烟圈”pseudospectrum复杂的矩阵
一个=画廊(“吸烟”,n)
返回一个n
——- - - - - -n
矩阵1
在superdiagonal,1
在(n, 1)
位置,沿对角线的权力统一的根源。
一个=画廊(“吸烟”,n, 1)
返回相同的除了元素(n - 1)
是零。
的特征值画廊(“吸烟”,n, 1)
是n
th统一的根源;的人画廊(“吸烟”,n)
是n
统一时间的根源2 ^ (1 / n)
。
toeppd——对称正定托普利兹矩阵
=画廊(toeppd, n, m, w,θ)
返回一个n
——- - - - - -n
对称半正定(SPD)托普利兹矩阵之和组成米
2(或者确定的θ
等级1)社民党托普利兹矩阵。具体地说,
T = w(1) *(θ(1))+…+ w (m) * T(θ(m))
在哪里T(θ(k))
有(i, j)
元素因为(2 *π*θ(k) * (i j))
。
默认情况下:m = n
,w =兰德(m, 1)
,θ=兰德(m, 1)
。
toeppen -对角托普利兹矩阵(稀疏)
P =画廊(toeppen, n, a, b, c, d, e)
返回n
——- - - - - -n
稀疏,对角托普利兹矩阵对角线:P (3,1) =
,P (2, 1) = b
,P (1,1) = c
,P (1、2) = d
,P (1、3) = e
,在那里一个
,b
,c
,d
,e
是标量。
默认情况下,(a, b, c, d, e)
=(-10,0,10,1)
Rutishauser,产生一个矩阵。这个矩阵特征值大约躺在线段2 * cos (2 * t) + 20 * *罪(t)
。
tridiag——三对角矩阵(稀疏)
一个=画廊(tridiag, c, d, e)
返回三对角矩阵与副斜杆c
,对角线d
,superdiagonale
。向量c
和e
必须有长度(d) 1
。
=画廊(tridiag, n、c、d、e)
,在那里c
,d
,e
都是标量,收益率托普利兹三对角矩阵的顺序n
与副斜杆元素c
对角线元素d
和superdiagonal元素e
。这个矩阵有特征值
d + 2 *√(c * e) * cos (k *π/ (n + 1))
在哪里k = 1: n
。(参见[1])。
一个=画廊(tridiag, n)
是一样的一个=画廊(tridiag, n, 1、2、1)
,这是一个对称正定m(第二个差别矩阵的负)。
triw——上三角矩阵讨论了威尔金森和其他人
=画廊(triw, n,α,k)
返回的上三角矩阵的对角线上α
年代第一k > = 0
superdiagonals。
订单n
可能是一个2-element向量,在这种情况下,矩阵是什么n (1)
——- - - - - -n (2)
和上梯形。
奥斯托夫斯基(“频谱的单参数矩阵的家庭,”j . Reine Angew。数学。1954]表明
电导率(画廊(triw, n, 2)) =床(π/ (4 * n)) ^ 2,
,对于大abs(α)
,电导率(画廊(triw, n,α))
大约是abs(α)^ n * sin(π/ (4 * 2))
。
添加2 ^ (2 n)
到(n, 1)
元素使triw (n)
单数,也增加2 ^(其它)
在第一列的所有元素。
uniformdata——任意标准数据均匀分布的数组
=画廊(“uniformdata”(m, n,…), j)
返回一个米
——- - - - - -n
——-…数组一个
。的值一个
从标准的均匀分布随机样本。j必须间隔一个整数值[0,2 ^ 32-1]
。调用画廊(uniformdata,…)
不同的价值观j
将返回不同的数组。重复调用画廊(uniformdata,…)
与同样大小的矢量和j
输入将始终返回相同的数组。
在任何一个电话画廊(uniformdata,…)
你可以用单独的输入米
,n
,……大小的输入向量(m, n,…)
。例如,画廊(“uniformdata”(1、2、3、4), 5)
相当于画廊(' uniformdata ', 1, 2, 3, 4, 5)
。
[A, B,…]=画廊(“uniformdata”(m, n,…), j)
返回多个米
——- - - - - -n
——-…数组一个
,B
,……,containing different values.
一个=画廊(“uniformdata”, [m, n,…),j,类名)
产生一个矩阵的类类名称
。类名称
必须是“单一”
或“双”
。
生成任意6-by-4矩阵数据均匀分布在[0,1]对应j = 2
。
x =画廊(uniformdata, (6, 4), 2);
生成任意1-by-2-by-3单阵列数据均匀分布在[0,1]对应j = 17
。
y =画廊(uniformdata, 1、2、3, 17日,“单”);
wathen -有限元矩阵(稀疏随机条目)
=画廊(wathen, nx,纽约)
返回一个稀疏的,随机的,n
——- - - - - -n
有限元矩阵n = 3 * nx *纽约+ 2 * nx + 2 *纽约+ 1
。
矩阵一个
就是普通的“一致质量矩阵”吗nx
——- - - - - -纽约
网格8-node元素在二维空间(意外)。一个
是对称的,正定的(积极的)值的“密度”ρ(nx、纽约)
随机选择在这个例程。
=画廊(wathen, nx、纽约,1)
返回一个对角矩阵,这样
0.25 < = eig(发票(D) *) < = 4.5
在哪里D =诊断接头(诊断接头(A))
对任何正整数nx
和纽约
和任何密度ρ(nx、纽约)
。
威尔金森wilk——各种矩阵设计或讨论
画廊(wilk, n)
返回一个不同的矩阵或线性系统依赖的价值n
。
|
上三角系统 |
|
下三角系统 |
|
|
|
|
引用
[1]MATLAB®画廊的测试矩阵是根据尼古拉斯·j·海厄姆的工作在数学系,曼彻斯特大学,曼彻斯特,英格兰。书中可以找到进一步的背景MATLAB指南,第二版德斯蒙德·j·海厄姆和尼古拉斯·j·海厄姆暹罗,2005年准确性和稳定性的数值算法,尼古拉斯·j·海厄姆暹罗,1996年。
[2]威尔金森,j . H。代数特征值问题伦敦,牛津大学出版社,1965年,p.308。
[3],r·b·m·r·米奇,“人口抽样实验,相关矩阵”Commun。中央集权。模拟第一版。B7, 1978年,页163 - 182。
戴维斯[4],p i n·j·海厄姆,“关联矩阵的数值稳定的一代和他们的因素,”位40卷,2000年,页640 - 651。