定理

广义奇异值分解

语法

[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B)

[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B,0)

sigma = gsvd(A,B)

描述

[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B)返回酉矩阵U和V，(通常)方阵X和非负对角矩阵C和年代如此......以至于......

A = u * c * x ' b = v * s * x ' c '* c + s '* s = I

一个和B必须具有相同的列数，但可以具有不同的行数。如果一个是米——- - - - - -p和B是n——- - - - - -p,然后U是米——- - - - - -米，V是n——- - - - - -n，X是p——- - - - - -问，C是米——- - - - - -问和年代是n——- - - - - -问,在那里Q = min(m+n,p)。

的非零元素年代总是在主对角线上。的非零元素C都在对角线上诊断接头(C,马克斯(0,q - m))。如果M >= q的主对角线C。

[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B,0),在那里一个是米——- - - - - -p和B是n——- - - - - -p，产生“经济规模”分解，其中结果U和V最多有p列和C和年代最多有p行。广义奇异值为诊断接头(C)。/诊断接头(S)只要……M >= p和N >= p。

如果一个是米——- - - - - -p和B是n——- - - - - -p,然后U是米——- - - - - -分钟(q,米)，V是n——- - - - - -分钟(q, n)，X是p——- - - - - -问，C是分钟(q,米)——- - - - - -问和年代是分钟(q, n)——- - - - - -问,在那里Q = min(m+n,p)。

sigma = gsvd(A,B)返回广义奇异值的向量，√诊断接头(C * C)。/诊断接头*年代(S))。当B是平方非奇异的，广义奇异值，定理(A, B)，对应于普通奇异值，圣言(A / B)，但它们的排序顺序相反。它们的倒数是定理(B)。

向量σ长度问而且是按非递减顺序排列的。

例子

示例1

矩阵的行数至少和列数一样多。

A =重塑(1:15,5,3)B =魔术(3)A = 1 6 11 2 7 12 3 8 13 4 9 14 5 10 15 B = 8 1 6 3 5 7 4 9 2

该声明

[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B)

产生一个5 × 5正交U3 × 3正交V一个3 × 3的非奇异矩阵X，

X = 2.8284 -9.3761 -6.9346 -5.6569 -8.3071 -18.3301 2.8284 -7.2381 -29.7256

和

C = 0.0000 000 0.3155 000 0.9807 0000 0000 0 s = 1.0000 0000 0.9489 0000 0.1957

自一个的第一个对角元素是秩亏的吗C是零。

经济规模分解，

[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B,0)

生成一个5 × 3矩阵U一个3 × 3矩阵C。

U = 0.5700 -0.6457 -0.4279 -0.7455 -0.3296 -0.4375 -0.1702 -0.0135 -0.4470 0.2966 0.3026 -0.4566 0.0490 0.6187 -0.4661 c = 0.0000 000 0.3155 000 0.9807

另外三个矩阵，V，X,年代与完全分解得到的结果相同。

的对角元素之比是广义奇异值C和年代。

σ = gsvd(A,B) σ = 0.0000 0.3325 5.0123

这些值是普通奇异值的重新排序

svd(A/B) ans = 5.0123 0.3325 0.0000

示例2

矩阵的列数至少和行数一样多。

A =重塑(1:15,3,5)B =魔法(5)A = 14 7 10 13 25 8 11 11 14 3 6 9 12 15 B = 17 24 18 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 11 18 18 25 2 9

该声明

[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B)

生成一个3 × 3正交U5 × 5正交V一个5 × 5的非单数X和

C = 0000 0000 000 0.0439 0000 0000 0 0.7432 s = 0000 0000 0000 0000 0000 000

在这种情况下，的非零对角线C是诊断接头(C, 2)。广义奇异值包括三个零。

σ = gsvd(A,B) σ = 00 0.0000 0.0439 1.1109

颠倒角色一个和B往复这些值，产生两个无穷大。

gsvd(B,A) ans = 1.0e+16 * 0.0000 0.0000 8.8252

提示

在这个公式中定理，不作任何假设一个或B。矩阵X当且仅当矩阵是满秩的[A, B]有完整的等级。事实上,圣言(X)和电导率(X)等于圣言([A, B])和电导率([A, B])。其他配方，如:G. Golub和C. Van Loan[1]，要求零(A)和零(B)不要重叠和替换X通过发票(X)或发票(X ')。
但是，请注意，当零(A)和零(B)的非零元素重叠吗C和年代并不是唯一决定的。