pcg

预条件共轭梯度法

语法

x=pcg（A，b） pcg（A、b、tol） pcg (A, b,托尔,麦克斯特) pcg（A、b、tol、maxit、M） pcg (A, b,托尔,麦克斯特,M1, M2) pcg (A, b,托尔,麦克斯特,M1, M2, x0) [x，标志]=pcg（A，b，…） [x,国旗,relres] = pcg (A, b,…) [x，flag，relres，iter]=pcg（A，b，…） [x，flag，relres，iter，resvec]=pcg（A，b，…）

描述

x=pcg（A，b）试图解线性方程组A * x =为x这个n-借-n系数矩阵一个必须是对称和正定的，并且应该是大的和稀疏的。列向量b一定的长度n. 您还可以指定一个作为一个函数句柄，股骨头无菌性坏死，以致阿方（x）返回A*x．

参数化功能解释如何向函数提供附加参数股骨头无菌性坏死，以及预处理函数mfun如有必要，请描述如下。

如果pcg收敛时，将显示具有此效果的消息。如果pcg未能在最大迭代次数后收敛或因任何原因停止，将打印一个警告消息，显示相对残留范数（b-A*x）/范数（b）以及方法停止或失败的迭代次数。

pcg（A、b、tol）指定方法的公差。如果托尔是[],然后pcg使用默认的,1 e-6．

pcg (A, b,托尔,麦克斯特)指定最大迭代次数。如果马克西特是[],然后pcg使用默认的,分钟(n, 20)．

pcg（A、b、tol、maxit、M）和pcg (A, b,托尔,麦克斯特,M1, M2)使用对称正定预条件米或M = M1 *平方米并有效地解决了该系统库存（M）*A*x=库存（M）*b为x．如果米是[]然后pcg适用于没有预调节器。米可以是函数句柄mfun这样mfun (x)返回M \ x．

pcg (A, b,托尔,麦克斯特,M1, M2, x0)指定初始猜测。如果x0是[],然后pcg使用默认的全零向量。

[x，标志]=pcg（A，b，…）也返回收敛标志。

旗帜	汇聚
`0`	`pcg`收敛到期望的公差`托尔`在内部`马克西特`迭代。
`1`	`pcg`迭代`马克西特`时代却没有收敛。
`2`	预调节器`米`坏脾气的。
`3.`	`pcg`停滞不前。(两个连续的迭代是相同的。)
`4`	期间计算的标量之一`pcg`变得太小或太大而无法继续计算。

每当旗帜不是0，解决方案x返回的是在所有迭代中计算的最小范数残差。如果没有显示任何消息旗帜指定了输出。

[x,国旗,relres] = pcg (A, b,…)还返回相对残差范数（b-A*x）/范数（b）．如果旗帜是0，relres<=tol．

[x，flag，relres，iter]=pcg（A，b，…）也返回其所在的迭代数x是计算出来的，在哪里0 <= iter <= maxit．

[x，flag，relres，iter，resvec]=pcg（A，b，…）还返回每个迭代中剩余范数的向量，包括规范(b * x0)．

例子

使用pcg与大矩阵

此示例演示如何将pcg与矩阵输入和函数句柄一起使用。

n1 = 21;一个=画廊(硅藻土,n1);b1 =和(2);托尔= 1 e-6;麦克斯特= 15;M1 = spdiags ((1: n1)”,0,n1、n1);(x1, flag1 rr1、iter1 rv1] = pcg (b1,托尔,麦克斯特,M1);

或者，您可以使用下面的函数来代替矩阵一个：

函数y = applyMoler(x) y = x;(end-1: 1:1) = y (end-1: 1:1) - cumsum (y(结束:1:2));Y (2:end) = Y (2:end) - cumsum(Y (1:end-1));

通过使用这个函数，您可以更有效地解决更大的系统，因为不需要存储整个矩阵一个：

n2 = 21;b2 = applyMoler ((n2, 1));托尔= 1 e-6;麦克斯特= 15;M2 = spdiags ((1: n2)”,0,n2, n2);(x2, flag2 rr2、iter2 rv2] = pcg (@applyMoler, b2,托尔,麦克斯特,M2);

使用`pcg`用预调节器

这个例子演示了如何使用前置条件矩阵pcg．

创建一个输入矩阵，并尝试使用pcg．

一个= delsq (numgrid (“年代”, 100));b = 1(大小(A, 1), 1);(x0, fl0 rr0、it0 rv0] = pcg (A, b, 1 e - 8100);

fl0是1因为pcg不收敛到要求的公差1 e-8在要求的最大100次迭代之内。预处理器可以使系统更快地收敛。

使用ichol仅使用一个输入参数构造具有零填充的不完全Cholesky分解。

L=ichol（A）；[x1，fl1，rr1，it1，rv1]=pcg（A，b，1e-8100，L，L'）；

fl1是0因为pcg驱动相对残差到9.8e-09的值(rr1，小于所要求的公差1 e-8在第七十七次迭代(值it1)，前提条件为零填充的不完全乔里斯基分解。rv1(1) =规范(b)和rv1(78) =规范(b * x1)．

前面的矩阵表示在带有狄利克雷边界条件的100x100网格上的拉普拉斯算子的离散化。这意味着一个修改过的不完整的Cholesky预处理器可能会表现得更好。

使用米可选项创建修改的不完整Cholesky预条件器。

L=ichol（A，结构(“米切尔”，“上”))[x2，fl2，rr2，it2，rv2]=pcg（A，b，1e-8100，L，L'）；

在这种情况下，您只需47次迭代即可实现收敛。

你可以看到预处理函数是如何影响收敛速度的pcg从初始估计开始绘制每个剩余历史（迭代次数0).

数字；符号学（0:it0，rv0/范数（b），“b”。)；持有在…上；semilogy (0: it1 rv1 /规范(b),“r”。); 符号学（0:it2，rv2/范数（b），“k.”)；传奇(“没有预调节器”，“集成电路(0)”，“麦克风(0)”）;包含(的迭代次数）;ylabel (“相对残差”)；持有关；