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残留物

Partial fraction expansion (partial fraction decomposition)

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句法

[r，p，k] =残基（b，a）
[[b，，，，一个] = residue(r,p,k)

描述

例子

[[<一个href="#buph4fq-r" class="intrnllnk">r，，，，<一个href="#buph4fq-p" class="intrnllnk">p，，，，<一个href="#buph4fq-k" class="intrnllnk">k] = residue(<一个href="#buph4fq-b" class="intrnllnk">b，，，，<一个href="#buph4fq-a" class="intrnllnk">一个）finds the residues, poles, and direct term of a<一个href="//www.tatmou.com/help/releases/R2019b/matlab/ref/residue.html" class="intrnllnk">部分分数扩展两个多项式的比率，其中扩展为形式

b （（ s ） 一个 （（ s ） = b m s m + b m - 1 s m - 1 + … + b 1 s + b 0 一个 n s n + 一个 n - 1 s n - 1 + … + 一个 1 s + 一个 0 = r n s - p n + ... + r 2 s - p 2 + r 1 s - p 1 + k （（ s ） 。

The inputs to残留物是多项式系数的向量B = [BM ... B1 B0]一个nda = [AN ... A1 A0]。The outputs are the residuesr = [rn ... r2 r1]，杆子p = [pn ... p2 p1]和多项式k。For most textbook problems,k是0或一个常数。

例子

[[<一个href="#buph4fq-b" class="intrnllnk">b，，，，<一个href="#buph4fq-a" class="intrnllnk">一个] = residue(<一个href="#buph4fq-r" class="intrnllnk">r，，，，<一个href="#buph4fq-p" class="intrnllnk">p，，，，<一个href="#buph4fq-k" class="intrnllnk">k）将部分分数的扩展转换回两个多项式的比率，并返回系数b一个nd一个。

例子

全部收缩

Open Live Script

找到以下多项式比率的部分分数扩展F（（s）using残留物

F （（ s ） = b （（ s ） 一个 （（ s ） = - 4 s + 8 s 2 + 6 s + 8 。 

b=[[-48]; a = [1 6 8]; [r,p,k] = residue(b,a)
r =2×1-12 8
p =2×1-4 -2
k = []

This represents the partial fraction expansion

- 4 s + 8 s 2 + 6 s + 8 = - 1 2 s + 4 + 8 s + 2 。

使用部分分数扩展回到多项式系数残留物。

[[b，，，，一个] = residue(r,p,k)
b=1×2-48
a =1×31 6 8

该结果代表原始分数F（（s）。

Open Live Script

如果分子的程度等于分母的程度，则输出kcan be nonzero.

F一世nd the partial fraction expansion of a ratio of two polynomialsF（（s）具有复杂的根和相等程度的分子和分母，其中F（（s） 是

F （（ s ） = b （（ s ） 一个 （（ s ） = 2 s 3 + s 2 s 3 + s + 1 。 

b = [2 1 0 0];a = [1 0 1 1];[r，p，k] =残基（b，a）
r =3×1复合物0.5354 + 1.0390i 0.5354-1.0390i -0.0708 + 0.0000i
p =3×1复合物0。3412+1。1615一世0。3412 - 1.1615i -0.6823 + 0.0000i
k = 2

残留物returns the complex roots and poles, and a constant term ink，，，，representing the partial fraction expansion

F （（ s ） = b （（ s ） 一个 （（ s ） = 2 s 3 + s 2 s 3 + s 2 + 1 = 0 。 5 3 5 4 + 1 。 0 3 9 0 一世 s - （（ 0 。 3 4 1 2 + 1 。 1 6 1 5 一世 ） + 0 。 5 3 5 4 - 1 。 0 3 9 0 一世 s - （（ 0 。 3 4 1 2 - 1 。 1 6 1 5 一世 ） + - 0 。 0 7 0 8 s + 0 。 6 8 2 3 + 2 。

Open Live Script

当分子的程度大于分母的程度时，输出k是代表多项式系数的矢量s。

Perform the following partial fraction expansion ofF（（s）using残留物。

F （（ s ） = b （（ s ） 一个 （（ s ） = 2 s 4 + s s 2 + 1 = 0 。 5 - 1 一世 s - 1 一世 + 0 。 5 + 1 一世 s + 1 一世 + 2 s 2 - 2 。 

b = [2 0 0 1 0];a = [1 0 1];[r，p，k] =残基（b，a）
r =2×1复合物0.5000-1.0000i 0.5000 + 1.0000i
p =2×1复合物0。0000+1。0000i 0.0000 - 1.0000i
k=1×320-2

k代表多项式 2 s 2 - 2 。

输入参数

全部收缩

分子中多项式的系数，被指定为代表多项式系数在降级功能中的数字矢量s。

数据类型：单身的|双倍的
复杂的数字支持：金宝app是的

分母中多项式的系数，被指定为代表多项式系数在降降中的数字的矢量s。

数据类型：单身的|双倍的
复杂的数字支持：金宝app是的

输出参数

全部收缩

部分分数膨胀的残基作为数字向量返回。

部分分数扩展的极点作为数字列返回。

直接术语，作为数字向量返回s。

更多关于

全部收缩

部分分数扩展

考虑分数F（（s）两个多项式b一个nd一个of degreen一个ndm， 分别

F （（ s ） = b （（ s ） 一个 （（ s ） = b n s n + … + b 2 s 2 + b 1 s + b 0 一个 m s m + … + 一个 2 s 2 + 一个 1 s + 一个 0 。

分数F（（s）can be represented as a sum of simple fractions

b （（ s ） 一个 （（ s ） = r m s - p m + r m - 1 s - p m - 1 + … + r 0 s - p 0 + k （（ s ）

This sum is called the partial fraction expansion ofF。价值rm，...，，r1是残留物，值pm，...，，p1一个re the poles, andk（（s）是多项式s。For most textbook problems,k（（s） 是0或一个常数。

两极的数量n是

n=长度（a）-1=length(r) = length(p)

如果直接术语向量为空，如果长度（b）<长度（a）; otherwise

长度（k）=长度（b） - 长度（a）+1

如果p（（j）=...=p（（j+m-1)是一个pole of multiplicitym，然后扩展包括表格的条款

r j s - p j + r j + 1 （（ s - p j ） 2 + … + r j + m - 1 （（ s - p j ） m 。

Algorithms

残留物首先使用roots。Next, if the fraction is nonproper, the direct termk发现使用德conv，，，，which performs polynomial long division. Finally,残留物通过去除单个根来评估多项式来确定残基。对于重复的根，resi2computes the residues at the repeated root locations.

Numerically, the partial fraction expansion of a ratio of polynomials represents an ill-posed problem. If the denominator polynomial,一个（（s），靠近具有多个根部的多项式，然后数据的微小变化（包括圆形误差）可能会导致所得的极点和残基的任意变化。优选使用状态空间或零极端表示的问题公式。

References

[1] Oppenheim，A.V。和R.W. Schafer。数字信号处理。Prentice-Hall, 1975, p. 56.

也可以看看

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话题

Introduced before R2006a

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