rotz

旋转矩阵用于绕z轴旋转

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语法

R = rotz (ang)

描述

例子

R= rotz (盎）创建一个3 × 3矩阵，用于围绕z轴旋转3 × 1向量或3 × n向量矩阵盎度。当作用于一个矩阵时，矩阵的每一列代表一个不同的向量。对于旋转矩阵R和向量v，则旋转后的向量为R * v．

例子

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旋转矩阵为45°旋转

打开生活的脚本

构建一个矢量绕z轴旋转45°的矩阵。然后让矩阵作用于一个向量。

R = rotz (45)

R =3×30.7071 0.7071 0.7071 0.7071 000 1.0000

v = [1, 2, 4];y = R * v

y =3×12.1213 -0.7071 4.0000

绕z轴旋转时z向量的-分量是不变的。

输入参数

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`盎`- - - - - -旋转角度
实值标量

指定为实值标量的旋转角度。当观察者沿着z轴向原点观察时，如果旋转是逆时针方向，则旋转角度为正。角的单位是度。

例子:45.0

数据类型:双

输出参数

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`R`——旋转矩阵
实值正交矩阵

3 × 3旋转矩阵返回为

$R_{z} （ γ ）＝［ \begin{matrix} 因为 γ & - 罪 γ & 0 \\ 罪 γ & 因为 γ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ］$

对于一个旋转角度γ．

更多关于

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旋转矩阵

旋转矩阵用于将一个向量旋转到一个新的方向。

在三维空间中对向量进行变换时，经常遇到旋转矩阵。旋转矩阵用于两种意义:它们可以用于将矢量旋转到一个新的位置，或者它们可以用于将一个坐标基(或坐标系统)旋转到一个新的位置。在这种情况下，这个向量是单独存在的，但它在新基底中的分量将与原来基底中的分量不同。在欧几里得空间中，有三种基本的旋转:分别绕x, y, z轴旋转。每一个旋转都由一个旋转角度来指定。当观察者沿着旋转轴向原点观察时，旋转角度被定义为正的逆时针旋转。任何任意的旋转都可以由这三个的组合组成(欧拉转动定理)．例如，你可以使用三个旋转序列将一个矢量旋转到任何方向: $v^{”} ＝一个 v ＝ R_{z} （ γ ） R_{y} （ β ） R_{x} （ α ） v$ ．

围绕x, y, z轴旋转矢量的旋转矩阵是:

绕x轴逆时针旋转

$R_{x} （ α ）＝［ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 因为 α & - 罪 α \\ 0 & 罪 α & 因为 α \end{matrix} ］$
绕y轴逆时针旋转

$R_{y} （ β ）＝［ \begin{matrix} 因为 β & 0 & 罪 β \\ 0 & 1 & 0 \\ - 罪 β & 0 & 因为 β \end{matrix} ］$
绕z轴逆时针旋转

$R_{z} （ γ ）＝［ \begin{matrix} 因为 γ & - 罪 γ & 0 \\ 罪 γ & 因为 γ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ］$

下面的三个图显示了每个旋转轴的正旋转是什么样的:

对于任何旋转，都有一个令人满意的反向旋转 ${一个}^{- 1} 一个＝ 1$ ．例如，通过改变角度的符号可以得到x轴旋转矩阵的逆:

$R_{x}^{- 1} （ α ）＝ R_{x} （ - α ）＝［ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 因为 α & 罪 α \\ 0 & - 罪 α & 因为 α \end{matrix} ］＝ R_{x}^{”} （ α ）$

这个例子说明了一个基本性质:旋转逆矩阵是原矩阵的转置。旋转矩阵满足萨那= 1,因此依据(A) = 1．在旋转下，向量的长度和向量之间的角度都保持不变。

我们可以用另一种方式来考虑旋转。考虑基向量的原始集合， $我， j ， k$ ，并使用旋转矩阵旋转它们一个．这就产生了一组新的基向量 $我^{”} ， j ，^{”} k^{”}$ 与原文相关的是:

$\begin{array}{l} 我^{”} & ＝一个我 \\ j^{”} & ＝一个 j \\ k^{”} & ＝一个 k \end{array}$

利用转置，你可以把新的基向量写成旧基向量的线性组合:

$［ \begin{matrix} 我^{”} \\ j^{”} \\ k^{”} \end{matrix} ］＝ {一个}^{”} ［ \begin{matrix} 我 \\ j \\ k \end{matrix} ］$

现在任何向量都可以写成任意一组基向量的线性组合:

$v ＝ v_{x} 我 + v_{y} j + v_{z} k ＝ {v^{”}}_{x} 我^{”} + {v^{”}}_{y} j^{”} + {v^{”}}_{z} k^{”}$

使用代数操作，您可以推导出当基(或坐标系统)旋转时固定向量的分量变换。这个变换使用旋转矩阵的转置。

$［ \begin{matrix} {v^{”}}_{x} \\ {v^{”}}_{y} \\ {v^{”}}_{z} \end{matrix} ］＝ {一个}^{- 1} ［ \begin{matrix} v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z} \end{matrix} ］＝ {一个}^{”} ［ \begin{matrix} v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z} \end{matrix} ］$