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双线性

模拟-数字滤波器转换的双线性变换方法

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[zd,pd,kd] =双线性(z,p,k,fs)
[numd,dend] =双线性(num,den,fs)
[Ad,Bd,Cd,Dd] =双线性(A,B,C,D,fs)
［___] =双线性(___《外交政策》)

描述

［zd，pd，kd] =双线性(z，p，k，fs）转换年代-零极形式的域传递函数z，p，k和抽样率fs离散的等价物。

［numd，dend] =双线性(全国矿工工会，窝，fs）转换年代-由分子指定的域传递函数全国矿工工会和分母窝离散的等价物。

例子

［广告，双相障碍，Cd，Dd] =双线性(一个，B，C，D，fs）将连续时间状态空间系统转换为矩阵一个，B，C,D离散时间系统。

例子

［___] =双线性(___，《外交政策》）使用参数《外交政策》作为“匹配”频率来指定预整。

例子

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打开实时脚本

设计一个10阶切比雪夫I型带通滤波器的原型，在通带中有3db的纹波。把它转换成状态空间形式。

[z,p,k] = cheb1ap(10,3);[A,B,C,D] = zp2ss(z,p,k);

创建一个具有采样率的模拟滤波器 f 年代 ＝ 2 千赫 ，预翘曲带边 u 1 而且 u 2 单位为rad/s，带宽 B w ＝ u 2 - u 1 和中心频率 W o ＝ u 1 u 2 用于lp2bp．指定通带边缘频率为100hz和500hz。

Fs = 2e3;u1 = 2*Fs*tan(100*(2*pi/Fs)/2);u2 = 2*Fs*tan(500*(2*pi/Fs)/2);Bw = u2 - u1;Wo =√(u1*u2);[At,Bt,Ct,Dt] = lp2bp(A,B,C,D,Wo,Bw);[b,a] = ss2tf(At,Bt,Ct,Dt);

计算模拟滤波器的频率响应频率．绘制幅值响应和预扭曲的频带边。

[h,w] =频率(b,a);情节(w, mag2db (abs (h)))在ylim([-165 5]) [U1,U2] = meshgrid([U1 U2]，ylim);情节(U1, U2)传说(级响应的，“低通带边缘”，“上通带边”)举行从包含(角频率(rad/s)) ylabel (“(dB)级”网格)

使用双线性创建一个具有采样率的数字带通滤波器 f 年代 下带边100hz。将数字滤波器由状态空间形式转换为传递函数形式ss2tf．

[Ad,Bd,Cd,Dd] =双线性(At,Bt,Ct,Dt,Fs);[bz,az] = ss2tf(Ad,Bd,Cd,Dd);

使用fvtool绘制数字滤波器的幅值响应。

fvtool (bz、阿兹“Fs”Fs)

打开实时脚本

设计一个六阶椭圆模拟低通滤波器，通带有3db纹波，阻带有90db纹波。设定截止频率 f c ＝ 20. 赫兹 和抽样率 f 年代 ＝ 200 赫兹 ．

clear Fc = 20;Fs = 200;[z,p,k] = ellip(6,3,90,2*pi*Fc，“年代”）;[num,den] = zp2tf(z,p,k);

计算模拟椭圆滤波器的幅值响应。可视化模拟滤波器。

[h,w] = freqs(num,den);情节(w /(2 *π)mag2db (abs (h)))在xlim([0 50]) [l1,l2] = meshgrid(Fc，[-120 0]);图(l1,l2)网格图例(级响应的，“通频带边缘”)包含(的频率(赫兹)) ylabel (“(dB)级”）

使用双线性将其转换为离散IIR滤波器。设置匹配频率为 f p ＝ 20. 赫兹 ．

[numd,dend] =双线性(num,den,Fs,20);

使用以下命令可视化过滤器fvtool．

fvtool (numd dend,“Fs”Fs)

输入参数

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的零年代-域传递函数，指定为列向量。

的极点年代-域传递函数，指定为列向量。

收益年代-域传递函数，指定为标量。

抽样率，指定为正标量。

模拟传递函数的分子系数，表示为行向量。

模拟传递函数的分母系数，指定为行向量。

状态矩阵年代-domain，指定为一个矩阵。如果系统有p输入和问输出并由n那么，状态变量一个是n——- - - - - -n．

数据类型:单|双

的输入到状态矩阵年代-domain，指定为一个矩阵。如果系统有p输入和问输出并由n那么，状态变量B是n——- - - - - -p．

数据类型:单|双

中的状态到输出矩阵年代-domain，指定为一个矩阵。如果系统有p输入和问输出并由n那么，状态变量C是问——- - - - - -n．

数据类型:单|双

的馈通矩阵年代-domain，指定为一个矩阵。如果系统有p输入和问输出并由n那么，状态变量D是问——- - - - - -p．

数据类型:单|双

匹配频率，指定为正标量。

输出参数

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的零z-域传递函数，指定为列向量。

的极点z-域传递函数，指定为列向量。

收益z-域传递函数，指定为标量。

数字传递函数的分子系数，指定为行向量。

数字传递函数的分母系数，指定为行向量。

状态矩阵z-domain，以矩阵形式返回。如果系统描述为n那么，状态变量广告是n——- - - - - -n．

数据类型:单|双

的输入到状态矩阵z-domain，以矩阵形式返回。如果系统描述为n那么，状态变量双相障碍是n1。

数据类型:单|双

中的状态到输出矩阵z-domain，以矩阵形式返回。如果系统有问输出并由n那么，状态变量Cd是问——- - - - - -n．

数据类型:单|双

的馈通矩阵z-domain，以矩阵形式返回。如果系统有问输出,然后Dd是问1。

数据类型:单|双

诊断

双线性要求分子的顺序不大于分母的顺序。如果事实并非如此，双线性显示

分子不能高于分母。

为双线性为了区分零极增益和传递函数线性系统格式，在这些情况下，前两个输入参数必须是具有相同方向的矢量。如果事实并非如此，双线性显示

前两个参数必须具有相同的方向。

算法

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的双线性变换是变量的数学映射。在数字滤波中，它是映射信号的一种标准方法年代或者模拟平面z或者数字平面。它将使用经典滤波器设计技术设计的模拟滤波器转换为它们的离散等价物。

双线性变换映射到年代-平面进入z飞机的

H （ z ） ＝ H （ 年代 ） | 年代 ＝ 2 f 年代 z − 1 z + 1 ．

这个变换映射到jΩ轴(from Ω =-∞到+∞)沿单位圆(ejw,从ω= -π到π)由

ω ＝ 2 棕褐色 − 1 （ Ω 2 f 年代 ） ．

双线性能否接受可选参数《外交政策》它指定了预翘曲。《外交政策》，单位为赫兹，表示“匹配”频率，即映射前后的频率响应完全匹配的频率。在预翘曲模式下，双线性变换映射年代-平面进入z飞机与

H （ z ） ＝ H （ 年代 ） | 年代 ＝ 2 π f p 棕褐色 （ π f p f 年代 ） z − 1 z + 1 ．

使用预翘曲选项，双线性地图的jΩ轴(从Ω = -∞到+∞)绕单位圆(ejω,从ω= -π来π)

ω ＝ 2 棕褐色 − 1 （ Ω 棕褐色 （ π f p f 年代 ） 2 π f p ） ．

在预扭曲模式下，双线性匹配频率2πfp(弧度/秒)年代平面到归一化频率2πfp/f年代(弧度/秒)z飞机。

的双线性函数使用三种不同的线性系统表示形式:零极增益、传递函数和状态空间形式。

双线性根据您提供的输入线性系统的格式，使用两种算法之一。一种算法适用于零极增益格式，另一种算法适用于状态空间格式。对于传递函数的表示，双线性转换为状态空间形式，执行转换，并将得到的状态空间系统转换回传递函数形式。

Zero-Pole-Gain算法

对于零极点增益形式的系统，双线性执行四个步骤:

  1. 如果《外交政策》是存在的，它预扭曲:

    Fp = 2*pi* Fp;Fs = fp/tan(fp/ Fs /2)

    否则,Fs = 2* Fs．

  2. 它去掉±∞处的任何零

    Z = Z(有限(Z));

  3. 它转换零点，极点和增益使用

    Pd = (1+p/fs)./(1-p/fs);%做双线性变换zd = (1+z/fs)./(1-z/fs);Kd = real(k*prod(fs-z)./prod(fs-p));

  4. 它在-1处加了额外的0这样得到的系统分子和分母的顺序是相等的。

状态方程的算法

给出了状态空间形式的模拟系统

x ˙ ＝ 一个 x + B u y ＝ C x + D u

．利用状态空间方程将该系统转换为离散形式，如下所示:

x ［ n + 1 ］ ＝ 一个 d x ［ n ］ + B d u ［ n ］ ， y ［ n ］ ＝ C d x ［ n ］ + D d u ［ n ］ ．

要将模拟系统转换为状态空间形式，双线性执行两步:

  1. 如果《外交政策》是存在的，让

    λ ＝ π f p 棕褐色 （ π f p / f 年代 ） ．

    如果《外交政策》是不在场，让λ=fs．

  2. 计算广告，双相障碍，Cd,Dd在这方面一个，B，C,D使用

    一个 d ＝ （ 我 − 一个 1 2 λ ） − 1 （ 我 + 一个 1 2 λ ） ， B d ＝ 1 λ （ 我 − 一个 1 2 λ ） − 1 B ， C d ＝ 1 λ C （ 我 − 一个 1 2 λ ） − 1 ， D d ＝ 1 2 λ C （ 我 − 一个 1 2 λ ） − 1 B + D ．

传递函数

对于传递函数形式的系统，双线性将一个年代-域传递函数，由全国矿工工会而且窝离散的等价物。行向量全国矿工工会而且窝的降幂，分别表示分子和分母的系数年代．让B（年代)为分子多项式和一个（年代)为分母多项式。传递函数为:

B （ 年代 ） 一个 （ 年代 ） ＝ B （ 1 ） 年代 n + ⋯ + B （ n ） 年代 + B （ n + 1 ） 一个 （ 1 ） 年代 米 + ⋯ + 一个 （ 米 ） 年代 + 一个 （ 米 + 1 ）

fs是以赫兹为单位的采样速率。双线性返回行向量中的离散等价numd而且dend在下降的权力z的升幂z1）.《外交政策》用于预翘曲的可选匹配频率，单位为赫兹。

参考文献

[1]托马斯·W·帕克斯和c·西德尼·伯勒斯。数字滤波器设计．纽约:John Wiley & Sons出版社，1987年，第209-213页。

奥本海姆、艾伦五世、罗纳德·w·谢弗和约翰·r·巴克。离散时间信号处理．上马鞍河，新泽西州:Prentice Hall, 1999，第450-454页。

另请参阅

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