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rlevinson

反向Levinson-Durbin递归

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语法

R = rlevinson(a,efinal)
[r,u] = rlevinson(a,efinal)
[r,u,k] = rlevinson(a,efinal)
[r,u,k,e] = rlevinson(a,efinal)

描述

反Levinson-Durbin递归实现了求解下列线性方程的对称Toeplitz方程组的降序算法r,在那里r= (r(1)……r（p+ 1)而且r（我）＊表示复共轭r（我)。

［ r （ 1 ） r （ 2 ） ∗ ⋯ r （ p ） ∗ r （ 2 ） r （ 1 ） ⋯ r （ p − 1 ） ∗ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ r （ p ） ⋯ r （ 2 ） r （ 1 ） ］ ［ 一个 （ 2 ） 一个 （ 3. ） ⋮ 一个 （ p + 1 ） ］ ＝ ［ − r （ 2 ） − r （ 3. ） ⋮ − r （ p + 1 ） ］

R = rlevinson(a,efinal)解上述方程组r给定的向量一个,在那里一个= [1一个(2)……一个（p+ 1)．在线性预测应用中，r表示预测误差滤波器的输入的自相关序列，其中r(1）为零滞后元素。下图显示了这种类型的典型过滤器，其中H（z）是最佳线性预测器，x（n)为输入信号， x ＾ （ n ） 是预测信号，和e（n)为预测误差。

输入向量一个的多项式系数表示该预测误差滤波器的多项式系数z．

一个 （ z ） ＝ 1 + 一个 （ 2 ） z − 1 + ⋯ + 一个 （ n + 1 ） z − p

滤波器必须是最小相位才能产生有效的自相关序列。efinal为预测误差的标量幂，等于预测误差信号的方差，σ2（e)。

[r,u] = rlevinson(a,efinal)返回上三角矩阵U从UDU＊分解

R − 1 ＝ U E − 1 U ∗

在哪里

R ＝ ［ r （ 1 ） r （ 2 ） ∗ ⋯ r （ p ） ∗ r （ 2 ） r （ 1 ） ⋯ r （ p − 1 ） ∗ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ r （ p ） ⋯ r （ 2 ） r （ 1 ） ］

而且E输出中是否返回元素的对角矩阵e(见下文)。这种分解可以有效地求出自相关矩阵的逆，R−1．

输出矩阵u包含预测滤波器多项式，一个，从每次迭代的反向Levinson-Durbin递归

U ＝ ［ 一个 1 （ 1 ） ∗ 一个 2 （ 2 ） ∗ ⋯ 一个 p + 1 （ p + 1 ） ∗ 0 一个 2 （ 1 ） ∗ ⋱ 一个 p + 1 （ p ） ∗ 0 0 ⋱ 一个 p + 1 （ p − 1 ） ∗ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 一个 p + 1 （ 1 ） ∗ ］

在哪里一个我（j）是j的系数我Th阶预测滤波器多项式(即步长我在递归中)。例如，5阶预测滤波器多项式为

A5 = u(5:-1:1,5)'

请注意,u (p + 1: 1:1, p + 1)”输入多项式系数是向量吗一个．

[r,u,k] = rlevinson(a,efinal)返回一个向量k的长度p+ 1包含反射系数。反射系数是第一行的值的共轭u．

K = conj(u(1,2:end))

[r,u,k,e] = rlevinson(a,efinal)返回长度向量p+ 1包含每一次反向Levinson-Durbin递归迭代的预测误差:e (1)为一阶模型的预测误差，e (2)是二阶模型的预测误差，等等。

这些预测误差值形成了矩阵的对角线E在UDU＊分解R−1．

R − 1 ＝ U E − 1 U ∗

例子

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利用自回归模型估计噪声中两个正弦波的频谱。从反向Levinson-Durbin递归返回的一组模型中选择最佳模型顺序。

生成信号。指定采样率为1khz，信号持续时间为50秒。正弦信号的频率为50hz和55hz。噪声的方差为0.2²。

Fs = 1000;t = (0:50e3-1)'/Fs;x =罪(2 *π* 50 * t) +罪(2 *π* 55 * t) + 0.2 * randn (50 e3, 1);

估计自回归模型参数。

[a,e] = arcov(x,100);[r,u,k] = rlevinson(a,e);

估计1、5、25、50和100阶的功率谱密度。

N = [1 5 25 50 100];nFFT = 8096;P = 0 (nFFT,5);为idx = 1:numel(N) order = N(idx);ARtest = flipud(u(:，order));P(:，idx) = 1./abs(fft(ARtest,nFFT)).^2;结束

绘制PSD估计值。

F = (0:1/nFFT:1/2-1/nFFT)*Fs;plot(F, 10*log10(P(1:length(P)/2，:)))'Order = '，[5 1]) num2str(N')]) xlabel(的频率(赫兹)) ylabel (“数据库”xlim([35 70])

参考文献

[1]凯，史蒂文M。现代谱估计:理论与应用．恩格尔伍德悬崖，新泽西州:Prentice-Hall, 1988。

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