求解一个正方形线性系统研究生院理事会使用默认设置，然后调整解决方案过程中使用的容忍度和迭代次数。

创建一个随机稀疏矩阵一个密度为50%。的右边也创建一个随机向量 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$．

rng默认的5 = sprand (600600);A = A'*A + speye(size(A));b =兰德(600 1);

解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$使用研究生院理事会．输出显示包括相对剩余误差的值 $\frac{\Vert \mathit{b}-\mathrm{斧头}\Vert }{\Vert \mathit{b}\Vert }$．

研究生院理事会x = (A, b);

CGS在第20次迭代时停止，没有收敛到所需的公差1e-06，因为已经达到了最大的迭代数。返回的迭代(数字20)的相对残差为0.068。

默认情况下研究生院理事会使用20次迭代和一个公差1 e-6，算法在此矩阵的20次迭代中无法收敛。由于残差仍然很大，这是一个很好的指标，说明需要更多的迭代(或预处理矩阵)。您还可以使用更大的容忍度，以使算法更容易收敛。

再用一个公差求解系统1的军医和40迭代。

研究生院理事会x = (A, b, 1的军医,40);

CGS在迭代40时停止，没有收敛到期望的公差0.0001，因为已经达到了最大的迭代数。返回的迭代(数字40)相对剩余0.0024。

即使有更宽松的容忍度和更多的迭代研究生院理事会不收敛。当迭代算法以这种方式停止时，这是一个很好的指示，预处理矩阵是需要的。

的不完全Cholesky因子分解一个，并使用l因子作为对的前置条件输入研究生院理事会．

L = ichol(一个);x =研究生院理事会(A, b, 1的军医,40岁,左);

CGS在迭代14收敛到一个相对残差为1.4e-05的解。

使用预调节器改善了问题的数值性质，足以研究生院理事会能够收敛。

检查使用预处理矩阵的效果研究生院理事会解一个线性方程组。

负载west0479，一个真正的479 × 479非对称稀疏矩阵。

负载west0479一个= west0479;

定义b所以真正的解是 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$是所有1的向量。

b =和(2);

设置容忍和最大迭代数。

托尔= 1 e-12;麦克斯特= 20;

使用研究生院理事会在要求的容忍和迭代次数上找到解决方案。指定5个输出以返回关于解决方案过程的信息:

[x, fl0 rr0, it0 rv0] =研究生院理事会(A, b,托尔,麦克斯特);fl0

fl0 = 1

rr0

rr0 = 1

it0

it0 = 0

fl0是1因为研究生院理事会不符合要求的宽容吗1 e-12在要求的20次迭代中。事实上，行为研究生院理事会是如此的可怜，以至于最初的猜测x0 = 0(大小(2),1)是最佳的解决方案，并返回，如所示it0 = 0．

为了提高收敛速度，您可以指定预处理矩阵。自一个非对称,使用ilu生成预处理因子 $\mathit{米}＝\mathit{l}\mathit{U}$．指定一个删除容错性以忽略值小于的非对角项1 e-6．解预处理系统 ${\mathit{一个}\mathit{米}}^{-1}\mathit{米}\mathit{x}＝\mathit{b}$通过指定l和U作为输入,研究生院理事会．

设置=结构(“类型”，“ilutp”，“droptol”1 e-6);[L U] = ilu(一个,设置);(x1, fl1 rr1、it1 rv1] =研究生院理事会(A, b,托尔,麦克斯特,L, U);fl1

fl1 = 0

rr1

rr1 = 4.3850 e-14

it1

it1 = 3

an的使用ilu预处理剂产生的相对残余量小于规定的公差1 e-12在第三次迭代中。输出rv1 (1)是规范(b)，和输出rv1(结束)是规范(b * x1)．

你可以跟着进度研究生院理事会通过绘制每次迭代的相对残差。用一条线标出每个解决方案的剩余历史，以表示指定的公差。

semilogy(0:长度(rv0) 1, rv0 /规范(b),“o”)举行在semilogy(0:长度(rv1) 1, rv1 /规范(b),“o”) yline(托尔,“r——”）;传奇(“没有预调节器”，ILU预处理的，“宽容”，“位置”，“东”)包含(的迭代次数) ylabel (的相对剩余的）

检查供应的效果研究生院理事会对解的初步猜测。

创建一个三对角稀疏矩阵。用每一行的和作为右边的向量 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$所以期望的解 $\mathit{x}$是1的向量。

n = 900;e =的(n - 1);A = spdiads ([e 2*e]，-1:1,n,n);b =和(2);

使用研究生院理事会来解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$两次:一次使用默认的初始猜测，另一次使用解决方案的良好初始猜测。对两个解决方案使用200次迭代和默认容忍度。金宝搏官方网站指定第二个解决方案中的初始猜测为一个所有元素等于的向量0.99．

麦克斯特= 200;x1 =研究生院理事会(A, b,[],麦克斯特);

CGS在迭代17收敛到一个相对残差为8.8e-07的解。

x0 = 0.99 * e;x2 =研究生院理事会(A, b,[],麦克斯特[],[],x0);

CGS在迭代4收敛到一个相对残差8e-07的解。

在这种情况下，提供初始猜测是可行的研究生院理事会更快地收敛。

x0 = 0(大小(2),1);托尔= 1 e-8;麦克斯特= 100;为k = 1:4 [x,国旗,relres] =研究生院理事会(A, b,托尔,麦克斯特[],[],x0);X = X (:, k);R (k) = relres;x0 = x;结束

通过提供求解线性系统研究生院理事会用一个函数句柄计算* x代替系数矩阵一个．

生成的威尔金森测试矩阵之一画廊是一个21乘21的三对角矩阵。预览矩阵。

一个=画廊(“wilk”, 21)

一个=21日×2110 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0121000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋮

威尔金森矩阵有一个特殊的结构，所以你可以表示这个操作* x用一个函数句柄。当一个乘以一个向量，结果向量中的大部分元素都是零。结果中的非零元素对应于的非零三对角元素一个．而且，只有主对角线有不等于1的非零值。

表达式 $\mathrm{斧头}$就变成:

$\mathrm{斧头}＝［\begin{array}{cccccccccc}10& 1& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 0\\ 1& 9& 1& 0& & & & & & 0\\ 0& 1& 8& 1& 0& & & & & ⋮\\ ⋮& 0& 1& 7& 1& 0& & & & \\ & & 0& 1& 6& 1& 0& & & ⋮\\ ⋮& & & 0& 1& 5& 1& 0& & \\ & & & & 0& 1& 4& 1& 0& ⋮\\ ⋮& & & & & 0& 1& 3.& \ddots & 0\\ 0& & & & & & 0& \ddots & \ddots & 1\\ 0& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 1& 10\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_4\\ {\mathit{x}}_5\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{x}}_{21}\end{array}］＝［\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］$．

得到的向量可以写成三个向量的和:

$\mathrm{斧头}＝［\begin{array}{c}0+10{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}+0\end{array}］$＝ $［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］+［\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_1\\ 9{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］+［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\\ 0\end{array}］$．

在MATLAB®中，编写一个函数，创建这些向量并将它们相加，从而得到的值* x：

函数Y = afun(x) Y = [0;x (1:20)] +.．.[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +.．.[x (21);0);结束

(这个函数在示例的末尾被保存为一个本地函数。)

现在，解线性方程组 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$通过提供研究生院理事会用函数句柄计算* x．使用公差1 e-12和50迭代。

1 b = 1(21日);托尔= 1 e-12;麦克斯特= 50;x1 =研究生院理事会(@afun, b,托尔,麦克斯特)

CGS在迭代11收敛到一个相对残差1.3e-14的解。

x1 =21日×10.0910 0.0899 0.0999 0.1109 0.1241 0.1443 0.1544 0.2383 0.1309 0.5000⋮

检查afun (x1)产生一个向量1。

afun (x1)

ans =21日×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000⋮

函数Y = afun(x) Y = [0;x (1:20)] +.．.[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +.．.[x (21);0);结束