解决一个平方线性系统使用巨磁电阻默认设置,然后调整解决方案中使用的宽容和迭代次数的过程。

创建一个随机稀疏矩阵一个有50%的密度和主对角线上的非零。还创建一个随机向量b的右边 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$。

rng默认的= sprandn (400400, 0.5) + 12 * speye (400);b =兰德(400 1);

解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$使用巨磁电阻。输出显示包括相对残留误差的值 $\frac{为\mathit{b}-\; -\; -\; -\; -\; -\mathrm{斧头}为}{为\mathit{b}为}$。

x = gmr (A, b);

gmr停在10迭代不收敛所需的公差1 e-06因为迭代的最大数量。返回的迭代(10号)相对剩余0.35。

默认情况下巨磁电阻使用10迭代和宽容1 e-6,该算法无法在这10收敛迭代矩阵。由于残余还大,这是一个很好的指标,需要更多的迭代(或预调节器矩阵)。您还可以使用更大的宽容使算法更容易收敛。

解决系统再次使用的宽容1的军医和100的迭代。

托尔= 1的军医;麦克斯特= 100;x = gmr (A, b,[],托尔,麦克斯特);

gmr停在100年迭代不收敛所需的公差0.0001因为达成的最大迭代数。返回的迭代(编号为100)相对剩余0.0045。

即使有较宽松的宽容和更多的迭代残差并不能提高足够的收敛。当一个迭代算法停滞在这种方式,它是一个好迹象,预处理矩阵是必要的。然而,巨磁电阻也有一个输入控制内心的迭代的数量。通过指定一个值为内部迭代,巨磁电阻每个外层迭代做更多的工作。

解决系统再次使用重新启动100的价值麦克斯特20的价值。而不是做100次迭代一次,巨磁电阻执行100次迭代之间重启和重复20次。

重启= 100;麦克斯特= 20;x = gmr (A, b,重启,托尔,麦克斯特);

gmr(100)聚集在外层迭代2(内迭代75)与相对剩余9.3 e-05解决方案。

在这种情况下,指定一个大的启动值巨磁电阻使它能够收敛到一个解决方案中允许的迭代次数。然而,大型重启值时可以消耗大量的内存一个也大。

检查与non-restarted使用预处理矩阵的影响巨磁电阻解决一个线性系统。

负载west0479,一个真正的479 - 479年-非对称稀疏矩阵。

负载west0479一个= west0479;

定义b所以,真正的解决方案 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$是一个向量的。

b =和(2);

宽容和最大迭代数。

托尔= 1 e-12;麦克斯特= 20;

使用巨磁电阻找到一个解决方案在请求的宽容和迭代次数。指定返回5个输出的信息解决方案过程:

[x, fl0 rr0, it0 rv0] = gmr (A, b,[],托尔,麦克斯特);fl0

fl0 = 1

rr0

rr0 = 0.7603

it0

it0 =1×21 20

fl0是1,因为巨磁电阻不收敛到所请求的宽容1 e-12在要求20迭代。最好的近似解巨磁电阻返回最后一个(如所示it0 (2) = 20)。MATLAB存储剩余历史rv0。

援助与收敛速度慢,您可以指定一个预处理矩阵。自一个非对称,使用ilu生成预调节器 $\mathit{米}=\mathit{l}\mathit{U}$。指定公差忽略nondiagonal条目下降值小于1 e-6。解决了预处理系统 ${\mathit{米}}^{-\; -\; -\; -\; -\; -1}\mathit{一个}\mathit{x}={\mathit{米}}^{-\; -\; -\; -\; -\; -1}\mathit{b}$通过指定l和U作为输入,巨磁电阻。请注意,当您指定一个预调节器,巨磁电阻计算预处理系统的残留标准输出rr1和rv1。

[L U] = ilu(一、结构(“类型”,“ilutp”,“droptol”,1 e-6));(x1, fl1 rr1、it1 rv1] = gmr (A, b,[],托尔,麦克斯特,L, U);fl1

fl1 = 0

rr1

rr1 = 6.9008 e-14

it1

it1 =1×21 - 6

的使用ilu预调节器产生一个相对剩余不到规定的公差1 e-12在第六个迭代。第一个残留rv1 (1)是规范(U \ \ b (L)),在那里M = L * U。最后剩余rv1(结束)是规范(U \ (L \ (b * x1)))。

你可以遵循的进步巨磁电阻通过绘制相对残差在每个迭代。情节的残余历史的每个解决方案指定的公差。

semilogy(0:长度(rv0) 1, rv0 /规范(b),“o”)举行在semilogy(0:长度(rv1) 1, rv1 /规范(U \ \ b (L))“o”)yline(托尔,“r——”);传奇(“没有预调节器”,ILU预处理的,“宽容”,“位置”,“东”)包含(的迭代次数)ylabel (的相对剩余的)

使用预调节器和重新启动巨磁电阻。

负载west0479,一个真正的479 - 479年-非对称稀疏矩阵。

负载west0479一个= west0479;

定义b所以,真正的解决方案 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$是一个向量的。

b =和(2);

构造一个不完全LU预调节器与宽容的下降1 e-6。

[L U] = ilu(一、结构(“类型”,“ilutp”,“droptol”,1 e-6));

有利于使用重新启动巨磁电阻是限制所需的内存来执行该方法。没有重启,巨磁电阻需要麦克斯特向量存储保持维子空间的基础。同时,巨磁电阻必须使正交化对所有的向量在每个步骤。重新启动限制空间的使用量和每外迭代完成的工作量。

执行gmr (3),gmr (4),gmr (5)使用不完全LU因素作为预调节器。使用一个公差1 e-12最多20外迭代。

托尔= 1 e-12;麦克斯特= 20;[x3, fl3 rr3、it3 rv3] = gmr (A, b, 3,托尔,麦克斯特,L, U);[x4, fl4 rr4、it4 rv4] = gmr (A, b, 4,托尔,麦克斯特,L, U);[x5, fl5 rr5、it5 rv5] = gmr (A, b, 5,托尔,麦克斯特,L, U);fl3

fl3 = 0

fl4

fl4 = 0

fl5

fl5 = 0

fl3,fl4,fl5在每种情况下都是0,因为重新启动吗巨磁电阻驱动器相对剩余小于规定的公差1 e-12。

下面的图显示了每个重新融合的历史巨磁电阻方法。gmr (3)在外层迭代收敛5,内迭代3 (it3 = (5, 3))这将是一样的外层迭代6,内部迭代0,因此6最后刻度线的标记。

semilogy (1:1/3:6 rv3 /规范(U \ \ b (L))“o”);甘氨胆酸h1 =;h1。XTick = (1:6);标题(“gmr (N) N = 3, 4, 5 ')包含(“外迭代数量”);ylabel (的相对剩余的);持有在semilogy (1:1/4:3 rv4 /规范(U \ \ b (L))“o”);semilogy (1:1/5:2.8 rv5 /规范(U \ \ b (L))“o”);yline(托尔,“r——”);持有从传奇(的巨磁电阻(3)的,“巨磁电阻(4)”,“巨磁电阻(5)”,“宽容”网格)在

一般来说更大的内在的迭代的数量,更多的工作巨磁电阻是否每个外层迭代和它可以收敛越快。

检查供应的影响巨磁电阻解决方案的初始猜测。

创建一个三对角稀疏矩阵。使用每一行的总和作为向量的右边 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$因此,预期的解决方案 $\mathit{x}$是一个向量的。

n = 900;e =的(n - 1);一个= spdiags ([e 2 * e e], 1:1, n, n);b =和(2);

使用巨磁电阻来解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$两次:一次使用默认初始猜测,和一个解决方案的时间和一个很好的初始估计。使用200次迭代和默认的对这两个解决方案。金宝搏官方网站指定初始猜测第二个解决方案作为一个向量的所有元素等于0.99。

麦克斯特= 200;x1 = gmr (A, b,[][],麦克斯特);

gmr聚集在迭代27与相对剩余9.5 e-07解决方案。

x0 = 0.99 * e;x2 = gmr (A, b,[][],麦克斯特,[],[],x0);

gmr聚集在迭代7与相对剩余6.7 e-07解决方案。

在这种情况下提供一个初始猜测使巨磁电阻更快地收敛。

x0 = 0(大小(2),1);托尔= 1 e-8;麦克斯特= 100;为k = 1:4 [x,国旗,relres] = gmr (A, b,[],托尔,麦克斯特,[],[],x0);X = X (:, k);R (k) = relres;x0 = x;结束

解一个线性系统通过提供巨磁电阻计算一个函数处理* x的系数矩阵一个。

威尔金森的测试矩阵生成的画廊是一个21-by-21三对角矩阵。预览矩阵。

一个=画廊(“wilk”,21)

一个=21日×2110 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋮

威尔金森矩阵的特殊结构,所以可以代表操作* x一个函数处理。当一个乘以一个向量,大部分结果向量中的元素是0。结果中的非零元素对应的非零三对角元素一个。此外,只有主对角线的非零不等于1。

表达式 $\mathrm{斧头}$就变成:

$\mathrm{斧头}=\left(\begin{array}{cccccccccc}10& 1& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 0\\ 1& 9& 1& 0& & & & & & 0\\ 0& 1& 8& 1& 0& & & & & ⋮\\ ⋮& 0& 1& 7& 1& 0& & & & \\ & & 0& 1& 6& 1& 0& & & ⋮\\ ⋮& & & 0& 1& 5& 1& 0& & \\ & & & & 0& 1& 4& 1& 0& ⋮\\ ⋮& & & & & 0& 1& 3& \ddots & 0\\ 0& & & & & & 0& \ddots & \ddots & 1\\ 0& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 1& 10\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_3\\ {\mathit{x}}_4\\ {\mathit{x}}_5\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{x}}_{21}\end{array}\right]=\left(\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_3\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_3+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}\right]$。

结果向量可以写成三个向量的总和:

$\mathrm{斧头}=\left(\begin{array}{c}0+10{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_3\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_3+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}+0\end{array}\right]$= $\left(\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}\right]+\left(\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_1\\ 9{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 10{\mathit{x}}_{21}\end{array}\right]+\left(\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\\ 0\end{array}\right]$。

在MATLAB®,编写一个函数,创建这些向量并将它们添加在一起,从而赋予的价值* x:

函数y = afun (x) y = 0;x (1:20)] +…[(10:1:0)';(1:10)']。* x +…[x (21);0);结束

(这个函数保存为本地函数结束时的例子。)

现在,解决线性系统 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$通过提供巨磁电阻计算的函数处理* x。使用一个公差1 e-1215外迭代,和10内迭代之前重新启动。

1 b = 1(21日);托尔= 1 e-12;麦克斯特= 15;重启= 10;x1 = gmr (@afun, b,重启,托尔,麦克斯特)

gmr(10)聚集在外层迭代5(内部迭代10)与相对剩余5.3 e-13解决方案。

x1 =21日×10.0910 0.0899 0.0999 0.1109 0.1241 0.1443 0.1544 0.2383 0.1309 0.5000⋮

检查afun (x1)产生一个向量的。

afun (x1)

ans =21日×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000⋮

函数y = afun (x) y = 0;x (1:20)] +…[(10:1:0)';(1:10)']。* x +…[x (21);0);结束