解决方形线性系统使用QMR.使用默认设置，然后调整解决方案流程中使用的容忍度和迭代次数。

创建一个随机稀疏矩阵一个密度为50%。同时创建一个随机向量b右边的 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$．

RNG.默认5 = sprand (400400);=“*;b =兰德(400 1);

解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$使用QMR.．输出显示包括相对残差误差的值 $\frac{为\mathit{b}-\mathrm{斧头}为}{为\mathit{b}为}$．

x = qmr（a，b）;

QMR在迭代20时停止，没有收敛到期望的公差1e-06，因为已经达到了最大的迭代次数。返回的iterate(编号20)的相对残差为0.12。

默认情况下QMR.使用20个迭代和容忍度1E-6，并且该算法无法在此矩阵的那些40次迭代中收敛。由于剩余仍然很大，因此是一个良好的指标，即需要更多的迭代（或预处理器矩阵）。您还可以使用更大的容差来使算法更容易收敛。

用容差再次解系统1E-4和100次迭代。

X = QMR（A，B，1E-4,100）;

QMR在迭代100时停止，而不会聚到所需的公差0.0001，因为达到了最大迭代次数。迭代返回（数字100）具有相对残差0.063。

即使具有宽松的公差和更多的迭代，剩余错误也不会改善太多。当以这种方式迭代算法停止时，它是需要预处理器矩阵的良好指示。

计算的不完全Cholesky分解一个，并使用L'作为预处理输入的因子QMR.．

l = iChol（a）;x = qmr（a，b，1e-4,100，l'）;

QMR在迭代57处收敛到一个相对残差为6.1e-05的解。

使用预处理器提高了问题的数值QMR.能够融合。

检查使用预处理器矩阵的效果QMR.解决线性系统。

加载West0479，真正的479-by-479非对称稀疏矩阵。

负载West0479.A = West0479;

定义b所以真正的解 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$是所有的矢量。

b = sum（a，2）;

设置容差和最大迭代次数。

tol = 1e-12;maxit = 20;

使用QMR.在请求的容忍和迭代次数找到解决方案。指定五个输出以返回有关解决方案过程的信息：

[x, fl0 rr0, it0 rv0] = qmr (A, b,托尔,麦克斯特);fl0

fl0 = 1

RR0.

RR0 = 0.7984.

it0

it0 = 17

fl0是1因为QMR.不收敛到所请求的公差1E-12在要求的20次迭代中。第17次迭代是最好的近似解，是由it0 = 17．

为了帮助缓慢的收敛，您可以指定一个预处理器矩阵。自从一个非对称,使用ilu生成预处理程序 $\mathit{米}＝\mathit{l}\mathit{U}$．指定删除公差，以忽略小于的值的非透明条目1E-6．解预处理系统 ${\mathit{米}}^{-1}\mathit{一个}\mathit{x}＝{\mathit{米}}^{-1}\mathit{b}$通过指定l和U作为输入QMR.．

setup = struct（'类型'，'ilutp'，'droptol'，1E-6）;[l，u] = ilu（a，设置）;[X1，FL1，RR1，IT1，RV1] = QMR（A，B，TOL，MAXIT，L，U）;FL1.

fl1 = 0.

RR1.

RR1 = 4.1114E-14

it1

IT1 = 6.

使用ilu预处理器产生比规定的耐受性更少1E-12在第六次迭代。输出RV1（1）是规范（b）和输出RV1（结束）是常态（b-a * x1）．

你可以跟着进度QMR.通过在每次迭代时绘制相对残差。绘制每个解决方案的剩余历史，具有指定公差的线。

semilogy(0:长度(rv0) 1, rv0 /规范(b),“o”抱紧上半径（0：长度（RV1）-1，RV1 / NORM（B），“o”) yline(托尔,'r--'）;传说（“没有预调节器”，'ilu preconditcher'，“宽容”，'位置'，'东'）Xlabel（'迭代号'）ylabel（“相对残差”）

检查供应的效果QMR.初步猜测解决方案。

创建一个Tridiacal稀疏矩阵。使用每行的总和作为右侧的向量 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$所以预期的解决方案 $\mathit{x}$是一个1的向量。

n = 900;e =那些（n，1）;a = spdiags（[e 2 * e e]， -  1：1，n，n）;b = sum（a，2）;

使用QMR.来解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$两次:一次是默认的初始猜测，另一次是正确的初始猜测。对这两种解决方案使用200次迭代和默认容忍。金宝搏官方网站指定第二个解中的初始猜想为一个所有元素都等于的向量0.99．

maxit = 200;x1 = qmr（a，b，[]，maxit）;

QMR在迭代27处收敛到具有相对残留的9.5E-07的溶液。

x0 = 0.99 * e;x2 = qmr（a，b，[]，maxit，[]，[]，x0）;

QMR在迭代7处收敛到具有相对残差6.7E-07的溶液。

在这种情况下，提供初始猜测QMR.要更快地收敛。

x0 =零（尺寸（a，2），1）;tol = 1e-8;maxit = 100;为k = 1:4 [x,国旗,relres] = qmr (A, b,托尔,麦克斯特[],[],x0);X = X (:, k);R (k) = relres;x0 = x;结束

通过提供解决线性系统QMR.使用计算的功能手柄a * x.和‘* x代替系数矩阵一个．

创建非对称性三角形矩阵。预览矩阵。

一个=画廊('威尔克'，21）+诊断（（20,1），1）

一个=21日×2110 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋮

由于这种三角形矩阵具有特殊结构，因此您可以代表操作a * x.功能手柄。当一个乘以向量，得到的矢量中的大多数元素是零。结果中的非零元素对应于非零三角形元素一个．

表达式 $\mathit{一个}\mathit{x}$就变成:

$\mathit{一个}\mathit{x}＝［\begin{array}{ccccccc}10.& 2& 0& \cdots & & \cdots & 0\\ 1& 9& 2& 0& & & ⋮\\ 0& 1& \ddots & 2& 0& & \\ ⋮& 0& 1& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ & & 0& \ddots & 1& \ddots & 0\\ ⋮& & & \ddots & \ddots & \ddots & 2\\ 0& \cdots & & \cdots & 0& 1& 10.\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21.}\end{array}］＝［\begin{array}{c}{10.\mathit{x}}_1+2{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+2{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19.}+9{\mathit{x}}_{20.}+2{\mathit{x}}_{21.}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10.{\mathit{x}}_{21.}\end{array}］$．

得到的向量可以写成三个向量的和:

$\mathit{一个}\mathit{x}＝［\begin{array}{c}{10.\mathit{x}}_1+2{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+2{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19.}+9{\mathit{x}}_{20.}+2{\mathit{x}}_{21.}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10.{\mathit{x}}_{21.}\end{array}］$＝ $［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］+［\begin{array}{c}{10.\mathit{x}}_1\\ {9\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 9{\mathit{x}}_{20.}\\ 10.{\mathit{x}}_{21.}\end{array}］+2\cdot ［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21.}\\ 0\end{array}］$．

同样，表达式 ${\mathit{一个}}^{\mathit{T}}\mathit{x}$就变成:

${\mathit{一个}}^{\mathit{T}}\mathit{x}＝［\begin{array}{ccccccc}10.& 1& 0& \cdots & & \cdots & 0\\ 2& 9& 1& 0& & & ⋮\\ 0& 2& \ddots & 1& 0& & \\ ⋮& 0& 2& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ & & 0& \ddots & 1& \ddots & 0\\ ⋮& & & \ddots & \ddots & \ddots & 1\\ 0& \cdots & & \cdots & 0& 2& 10.\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21.}\end{array}］＝［\begin{array}{c}{10.\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {2\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {2\mathit{x}}_{19.}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21.}\\ {2\mathit{x}}_{20.}+10.{\mathit{x}}_{21.}\end{array}］$．

${\mathit{一个}}^{\mathit{T}}\mathit{x}＝［\begin{array}{c}{10.\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {2\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {2\mathit{x}}_{19.}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21.}\\ {2\mathit{x}}_{20.}+10.{\mathit{x}}_{21.}\end{array}］＝2\cdot ［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］+［\begin{array}{c}{10.\mathit{x}}_1\\ {9\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 9{\mathit{x}}_{20.}\\ 10.{\mathit{x}}_{21.}\end{array}］+［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21.}\\ 0\end{array}］$．

在Matlab®中，写一个创建这些向量的函数并将它们添加在一起，从而提供值a * x.或者‘* x，取决于标志输入：

功能y = afun（x，旗帜）如果Strcmp（旗帜，'notransp'）％compute a * xy = [0;x（1:20）]......+ [（10：-1：0）';（1:10）']。* x......+ 2 * [x（2：结束）;0];eleesif.Strcmp（旗帜，'transp'）％compute'* xy = 2 * [0;x（1:20）]......+ [（10：-1：0）';（1:10）']。* x......+ [x（2：结束）;0];结束结束

（此函数在示例结束时保存为本地功能。）

现在，解决线性系统 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$通过提供QMR.使用函数处理来计算a * x.和‘* x．使用公差1E-6和25个迭代。指定 $\mathit{b}$作为行和的行 $\mathit{一个}$所以真正的解 $\mathit{x}$是一个1的向量。

b =完整（总和（a，2））;tol = 1e-6;maxit = 25;x1 = qmr（@ afun，b，tol，maxit）

QMR在迭代19融合到具有相对残差4.7E-07的溶液。

x1 =21日×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

功能y = afun（x，旗帜）如果Strcmp（旗帜，'notransp'）％compute a * xy = [0;x（1:20）]......+ [（10：-1：0）';（1:10）']。* x......+ 2 * [x（2：结束）;0];eleesif.Strcmp（旗帜，'transp'）％compute'* xy = 2 * [0;x（1:20）]......+ [（10：-1：0）';（1:10）']。* x......+ [x（2：结束）;0];结束结束