主要内容

学生的t分布

概述

学生的t分布是一个单参数曲线族。当总体标准差未知时，这个分布通常用于检验关于总体均值的假设。

统计和机器学习工具箱™提供了多种方法与学生的工作t分布。

  • 使用特定于分布的函数(tcdf，tinv，tpdf，trnd，tstat)，并指定分布参数。分布函数可以接受多个学生的参数t分布。

  • 使用通用分布函数(提供，icdf，pdf，随机)，并使用指定的发行版名称(“T”)和参数。

参数

学生的t分布使用以下参数。

参数 描述 金宝app
ν(ν） 自由度 ν= 1, 2, 3，…

概率密度函数

学生的pdft分布是

y ＝ f （ x | ν ） ＝ Γ （ ν + 1 2 ） Γ （ ν 2 ） 1 ν π 1 （ 1 + x 2 ν ） ν + 1 2 ，

在哪里ν为自由度，Γ(·)为函数。结果y观察到某一特定值的概率是x从学生的t分布与ν的自由度。

例如，请参见计算和绘图学生的t分布pdf．

累积分布函数

学生的cdft分布是

p ＝ F （ x | ν ） ＝ ∫ − ∞ x Γ （ ν + 1 2 ） Γ （ ν 2 ） 1 ν π 1 （ 1 + t 2 ν ） ν + 1 2 d t ，

在哪里ν为自由度，Γ(·)为函数。结果p一个单独的观察结果的概率t分布与ν自由度在区间内下降(-∞,x］．

例如，请参见计算并绘制学生的t分布cdf．

逆累积分布函数

的t逆函数是用学生的t提供,

x ＝ F − 1 （ p | ν ） ＝ ｛ x ： F （ x | ν ） ＝ p ｝ ，

在哪里

p ＝ F （ x | ν ） ＝ ∫ − ∞ x Γ （ ν + 1 2 ） Γ （ ν 2 ） 1 ν π 1 （ 1 + t 2 ν ） ν + 1 2 d t ，

ν为自由度，Γ(·)为函数。结果x积分方程的解是你提供概率的地方吗p．

例如，请参见计算学生的t icdf．

描述性统计

学生的平均值t分布是μ= 0对于自由度ν大于1。如果ν等于1，则均值无定义。

学生的方差t分布是 ν ν − 2 对于自由度ν大于2。如果ν小于等于2，则方差无定义。

例子

计算和绘图学生t分布pdf

打开生活的脚本

计算一个学生的pdft自由度为的分布5，10,50．

x = [5: .1:5];日元= tpdf (x, 5);y2 = tpdf (x, 10);y3 = tpdf (x, 50);

绘制所有三个选项的pdfν在同一轴上。

图;情节(x, y₁,“颜色”，“黑”，“线型”，“- - -”)举行在情节(x, y2,“颜色”，“红色”，“线型”，“-”。)情节(x, y3,“颜色”，“蓝”，“线型”，“——”)包含(“观察”) ylabel (的概率密度)({传奇“ν= 5”，“ν= 10”，“ν= 50”})举行从

计算和绘图学生t分布提供

打开生活的脚本

计算一个学生的cdft自由度为的分布5，10,50．

x = [5: .1:5];日元= tcdf (x, 5);y2 = tcdf (x, 10);y3 = tcdf (x, 50);

绘制所有三个选项的cdfν在同一轴上。

图;情节(x, y₁,“颜色”，“黑”，“线型”，“- - -”)举行在情节(x, y2,“颜色”，“红色”，“线型”，“-”。)情节(x, y3,“颜色”，“蓝”，“线型”，“——”)包含(“观察”) ylabel (“累积概率”)({传奇“ν= 5”，“ν= 10”，“ν= 50”})举行从

计算学生的ticdf

打开生活的脚本

找出学生的百分之95t分布与50的自由度。

p = .95;ν= 50;x = tinv (p,ν)
x = 1.6759

比较学生的t和正态分布pdf

打开生活的脚本

学生的t分布是依赖于单个参数的曲线族ν(自由度)。自由度ν方法无穷,t分布接近标准正态分布。

计算学生的pdf文件t带参数分布ν= 5和学生的t带参数分布ν= 15．

x = [5:0.1:5];日元= tpdf (x, 5);y2 = tpdf (x, 15);

计算一个标准正态分布的pdf。

z = normpdf (x 0 1);

学生的情节tPDF与标准普通PDF上的图形相同。

情节(x, y₁,“-”。, x, y2,“——”, x, z,“- - -”)传说('Student' st Distribution with \nu=5'，．..'Student' st Distribution with \nu=15'，．..标准正态分布的，“位置”，“最佳”)包含(“观察”) ylabel (的概率密度)标题('Student' s tand Standard Normal pdf '）

标准的普通pdf的尾部比学生的短tpdf文件。

相关的分布

  • 贝塔分布- beta分布是一种具有参数的双参数连续分布一个(第一个形状参数)和b(第二形状参数)。如果Y有一个学生的t分布与ν自由度 X ＝ 1 2 + 1 2 Y ν + Y 2 形状参数有β分布吗一个＝ν／2和b＝ν／2．该关系用于计算tCDF和逆函数，并生成t分布的随机数。

  • 柯西分布——柯西分布是一个具有参数的双参数连续分布γ(规模)和δ(位置)。这是一个特例稳定分布与形状参数α＝ １和β= 0．标准柯西分布(单位尺度和位置为零)是学生的t自由度分布ν等于1。标准柯西分布的均值和方差没有定义。

    例如，请参见用学生t生成柯西随机数．

  • 卡方分布—卡方分布是具有参数的单参数连续分布ν(自由度)。如果Z有一个标准正态分布χ2有自由度的卡方分布吗ν,然后 t = Z χ 2 / ν 有一个学生的t自由度分布ν．

  • 非中心t分布——这是无心的t分布是一个双参数连续分布，它推广了学生的t分布，并有参数ν(自由度)和δ(非中心)。设置δ= 0学生的收益率t分布。

  • 正态分布-正态分布是一种带有参数的双参数连续分布μ(意味着)σ(标准差)。

    自由度ν趋近于无穷，学生的t分布接近标准正态分布(零均值和单位标准差)。

    例如，请参见比较学生的t和正态分布pdf

    如果x是随机抽样吗n正态分布的均值μ，然后是统计 t ＝ x ¯ − μ 年代 / n ,在那里 x ¯ 样本均值和年代是样本标准差，有学生的吗t分布与n1的自由度。

    例如，请参见计算学生的t分布．

  • t Location-Scale分布- - -t位置-尺度分布是一种三参数连续分布μ(意味着)σ(规模),ν(形状)。如果x有一个t带有参数的位置-尺度分布µ，σ,ν,然后 x − μ σ 有一个学生的t分布与ν的自由度。

参考文献

阿布拉莫维茨、米尔顿和艾琳·a·斯特根编。数学函数手册:有公式，图形，和数学表．9.多佛打印。[Nachdr。Ausg。冯1972]。多佛数学书籍。纽约，纽约:多佛出版社，2013。

[2] Devroye,卢克。非均匀随机变量生成．纽约，纽约:施普林格纽约，1986。https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8

埃文斯，梅兰，尼古拉斯·哈斯廷斯和布莱恩·皮科克。统计分布．2版。纽约:J. Wiley, 1993。

[4] Kreyszig,欧文。数理统计导论:原理与方法．纽约:威利，1970年。

另请参阅

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